Determine a equação geral e esboce o gráfico da cônica dada. Inclua no esboço informações relevantes como o(s) foco(s), o vértice ou centro, o(s) eixo(s) e a reta diretriz no caso da parábola.
(y+9)^2=-4(x+5);

Passo 1

O enunciado pede para trabalhar com a cônica dada por (y+9)^2=-4(x+5). Isso envolve análise de parábolas na forma canônica (y-k)^2=4p(x-h). Precisamos: 1) encontrar a equação geral da cônica; 2) identificar vértice, foco, eixo e reta diretriz; 3) esboçar o gráfico.

Passo 2

Para reconhecer o tipo de cônica, comparamos (y+9)^2=-4(x+5) com a forma canônica da parábola horizontal: (y-k)^2=4p(x-h). Aqui temos h=-5, k=-9 e 4p=-4, ou seja, p=-1.
O vértice (h,k) fica em (-5,-9). Como p=-1, a parábola abre para a esquerda (p negativo sinaliza abertura à esquerda no caso horizontal).
O foco é dado por (h+p,,k), logo $(-5-1,

Passo 3

-9) =(-6,-9)$. A diretriz é a reta A diretriz é a reta . O eixo de simetria é a reta horizontal que passa pelo vértice e foco, isto é, O eixo de simetria é a reta horizontal que passa pelo vértice e foco, isto é, .

Passo 4

Para achar a forma geral da cônica, basta expandir e reorganizar em Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0. Partindo de:
(y+9)^2+4(x+5)=0
expandindo:
y^2+18y+81+4x+20=0
logo a forma geral é
y^2+18y+4x+101=0.

Passo 5

No esboço, marcamos o vértice (-5,-9), o foco (-6,-9), traçamos a diretriz x=-4 e o eixo y=-9. Como abre para a esquerda, o ramo se curva deixando o foco entre vértice e diretriz.

Resposta

Equação geral: y^2+18y+4x+101=0. Vértice em (-5,-9), foco em (-6,-9), eixo de simetria y=-9, diretriz x=-4 e a parábola abre para a esquerda.

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