Determine a equação geral e esboce o gráfico da cônica dada. Inclua no esboço informações relevantes como o(s) foco(s), o vértice ou centro, o(s) eixo(s) e a reta diretriz no caso da parábola.
(x-2)^216+(y-2)^225=1;

Passo 1

Temos uma cônica no formato padrão de elipse com centro deslocado. O objetivo é escrever a equação geral dessa elipse e determinar elementos como centro, semi-eixos, vértices e focos para depois esboçar o gráfico.

Passo 2

Começamos multiplicando ambos os lados por 400 (o mínimo múltiplo de 16 e 25) para limpar os denominadores:
(x-2)^216 + (y-2)^225 = 1 implies 25(x-2)^2 + 16(y-2)^2 = 400
Agora expandimos os quadrados:
25(x^2 -4x +4) +16(y^2 -4y +4) =400
Então
25x^2 -100x +100 +16y^2 -64y +64 -400 = 0
e, reunindo termos,
25x^2 +16y^2 -100x -64y -236 = 0

Passo 3

Da forma padrão (x-h)^2b^2 + (y-k)^2a^2 =1
identificamos o centro (h,k)=(2,2) e como 25<16 não faz sentido, invertemos: o maior denominador é 25 em (y-2)^2/25, logo a^2=25 e b^2=16.
Assim a=5 (semi-eixo maior, vertical) e b=4 (semi-eixo menor, horizontal).

Passo 4

Os vértices ficam a uma distância a=5 do centro ao longo do eixo maior (vertical):
(2,2+5)=(2,7), (2,2-5)=(2,-3)
Os co-vértices ficam a uma distância b=4 ao longo do eixo menor (horizontal):
(2+4,2)=(6,2), (2-4,2)=(-2,2)

Passo 5

Para achar os focos usamos c^2 = a^2 - b^2 =25 -16=9, logo c=3. Eles estão ao longo do eixo maior a partir do centro:
(2,2+3)=(2,5), (2,2-3)=(2,-1)

Passo 6

No esboço, marcamos o centro (2,2), desenhamos os eixos principais (vertical e horizontal), plotamos vértices e co-vértices e, por fim, desenhamos a curva da elipse passando por esses pontos. Destacamos também os focos dentro da elipse.

Passo 7

A reta diretriz só se aplica a parábolas, então aqui não precisamos incluí-la.

Resposta

Equação geral: 25x^2 + 16y^2 - 100x - 64y - 236 = 0. Centro (2,2), semi-eixo maior a = 5 (vertical), semi-eixo menor b = 4 (horizontal). Vértices: (2,7) e (2,-3); co-vértices: (6,2) e (-2,2); focos: (2,5) e (2,-1).

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