Determine a equação geral e esboce o gráfico da cônica dada. Inclua no esboço informações relevantes como o(s) foco(s), o vértice ou centro, o(s) eixo(s) e a reta diretriz no caso da parábola.
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Passo 1
Temos uma cônica no formato padrão de elipse com centro deslocado. O objetivo é escrever a equação geral dessa elipse e determinar elementos como centro, semi-eixos, vértices e focos para depois esboçar o gráfico.
Passo 2
Começamos multiplicando ambos os lados por 400 (o mínimo múltiplo de 16 e 25) para limpar os denominadores:
Agora expandimos os quadrados:
Então
e, reunindo termos,
Passo 3
Da forma padrão
identificamos o centro e como 25<16 não faz sentido, invertemos: o maior denominador é 25 em
, logo
e
.
Assim (semi-eixo maior, vertical) e
(semi-eixo menor, horizontal).
identificamos o centro
Assim
Passo 4
Os vértices ficam a uma distância
do centro ao longo do eixo maior (vertical):
Os co-vértices ficam a uma distância
Passo 5
Para achar os focos usamos
, logo
. Eles estão ao longo do eixo maior a partir do centro:
Passo 6
No esboço, marcamos o centro (2,2), desenhamos os eixos principais (vertical e horizontal), plotamos vértices e co-vértices e, por fim, desenhamos a curva da elipse passando por esses pontos. Destacamos também os focos dentro da elipse.
Passo 7
A reta diretriz só se aplica a parábolas, então aqui não precisamos incluí-la.
Resposta
Equação geral: 25x^2 + 16y^2 - 100x - 64y - 236 = 0. Centro (2,2), semi-eixo maior a = 5 (vertical), semi-eixo menor b = 4 (horizontal). Vértices: (2,7) e (2,-3); co-vértices: (6,2) e (-2,2); focos: (2,5) e (2,-1).