Obtenha uma representação por série de potências da função f(x)=ln (1+x) em que |x|<1. Calcule f^(n)(0), para todo n in N.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a representação da função $ f(x) = \ln(1+x) $ como uma série de potências, onde $ |x| < 1 $. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries de Taylor e derivadas.

Passo 2

Primeiro, sabemos que uma série de potências geral tem a forma:
f(x) = sumn=0^infty an x^n
Nosso objetivo é descobrir os coeficientes $ a_n $ que fazem essa igualdade valer para $ \ln(1+x) $.

Passo 3

Para encontrar $ a_n $, vamos calcular as derivadas de $ f(x) $ no ponto 0. A fórmula para os coeficientes da série de Taylor é:
an
Então, precisamos encontrar $ f^{(n)}(0) $.

Passo 4

Vamos derivar $ f(x) = \ln(1+x) $ várias vezes para perceber um padrão:
  • Primeira derivada:
f(x) = ln(1+x)
  • Segunda derivada:
f'(x) = 11+x
  • Terceira derivada:
f''(x) = -1(1+x)^2
E assim por diante. Observamos que a $ n $-ésima derivada é:
f'''(x) = 2(1+x)^3

Passo 5

Agora, avaliamos essa derivada em $ x = 0 $:
x = 0
Com isso, podemos encontrar os coeficientes $ a_n $:
f^(n)(0) = (-1)^n+1 (n-1)!

Passo 6

Finalmente, substituímos os coeficientes na série de potências:
ln(1+x) = sumn=1^infty (-1)^n+1n x^n
Essa é a representação por série de potências da função dada para $ |x| < 1 $.

Resposta

A série de potências de $ f(x) = \ln(1+x) $ é:
f(x) = ln(1+x)
E a derivada $ n $-ésima avaliada em 0 é:
ln(1+x) = sumn=1^infty (-1)^n+1n x^n para |x| < 1

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