Obtenha uma representação por série de potências da função
em que
. Calcule
, para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a representação da função $ f(x) = \ln(1+x) $ como uma série de potências, onde $ |x| < 1 $. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries de Taylor e derivadas.
Passo 2
Primeiro, sabemos que uma série de potências geral tem a forma:
Nosso objetivo é descobrir os coeficientes $ a_n $ que fazem essa igualdade valer para $ \ln(1+x) $.
Passo 3
Para encontrar $ a_n $, vamos calcular as derivadas de $ f(x) $ no ponto 0. A fórmula para os coeficientes da série de Taylor é:
Então, precisamos encontrar $ f^{(n)}(0) $.
Passo 4
Vamos derivar $ f(x) = \ln(1+x) $ várias vezes para perceber um padrão:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
- Terceira derivada:
E assim por diante. Observamos que a $ n $-ésima derivada é:
Passo 5
Agora, avaliamos essa derivada em $ x = 0 $:
Com isso, podemos encontrar os coeficientes $ a_n $:
Passo 6
Finalmente, substituímos os coeficientes na série de potências:
Essa é a representação por série de potências da função dada para $ |x| < 1 $.
Resposta
A série de potências de $ f(x) = \ln(1+x) $ é:
E a derivada $ n $-ésima avaliada em 0 é: