Represente f(x)=sen x como a soma de sua série de Taylor centrada em pi3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função f(x) = sen x e a missão é representá-la como a soma da sua série de Taylor centrada em pi3. Para isso, vamos usar a teoria das séries de Taylor, que nos ajuda a aproximar funções usando polinômios. Precisaremos calcular as derivadas de f(x) no ponto pi3 e montar a série passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da série de Taylor para uma função f(x) centrada em a:
f(x) = sumn=0^infty f^(n)(a)n! (x - a)^n
Aqui, f^(n)(a) é a n-ésima derivada de f avaliada em a, e n! é o fatorial de n. Nosso objetivo é calcular essas derivadas para f(x) = sen x no ponto a = pi3.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de f(x) = sen x:
f(x) &= sen x f'(x) &= cos x f''(x) &= -sen x f'''(x) &= -cos x f''''(x) &= sen x
Viu como as derivadas começam a se repetir a cada 4 passos? Isso vai facilitar na hora de montar a série.

Passo 4

Agora, vamos avaliar cada derivada no ponto a = pi3:
f(pi3) &= sen(pi3) = raiz32 f'(pi3) &= cos(pi3) = 12 f''(pi3) &= -sen(pi3) = -raiz32 f'''(pi3) &= -cos(pi3) = -12

Passo 5

Com essas informações, vamos montar a série de Taylor:
f(x) &= f(pi3) + f'(pi3)(x - pi3) + f''(pi3)2!(x - pi3)^2 & + f'''(pi3)3!(x - pi3)^3 + cdots &= raiz32 + 12(x - pi3) - raiz34(x - pi3)^2 - 112(x - pi3)^3 + cdots

Resposta

A representação da função f(x) = sen x como a soma de sua série de Taylor centrada em pi3 é:
f(x) = raiz32 + 12(x - pi3) - raiz34(x - pi3)^2 - 112(x - pi3)^3 + cdots

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