Represente
como a soma de sua série de Taylor centrada em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e a missão é representá-la como a soma da sua série de Taylor centrada em
. Para isso, vamos usar a teoria das séries de Taylor, que nos ajuda a aproximar funções usando polinômios. Precisaremos calcular as derivadas de
no ponto
e montar a série passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da série de Taylor para uma função
centrada em
:
Aqui,
é a n-ésima derivada de
avaliada em
, e
é o fatorial de
. Nosso objetivo é calcular essas derivadas para
no ponto
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
:
Viu como as derivadas começam a se repetir a cada 4 passos? Isso vai facilitar na hora de montar a série.
Passo 4
Agora, vamos avaliar cada derivada no ponto
:
Passo 5
Com essas informações, vamos montar a série de Taylor:
Resposta
A representação da função
como a soma de sua série de Taylor centrada em
é: