Determine a equação geral e esboce o gráfico da cônica dada. Inclua no esboço informações relevantes como o(s) foco(s), o vértice ou centro, o(s) eixo(s) e a reta diretriz no caso da parábola.
(x+3)^24-(y-1)^25=1.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a forma geral da cônica e esboçar seu gráfico, indicando centro, vértices, focos e eixos (é uma hipérbole porque tem sinal de diferença entre quadrados). Vamos usar teoria de cônicas: padrão \$(x-h)2/a2 - (y-k)2/b2 = 1\$ é hipérbole com eixo transverso horizontal.

Passo 2

Partindo de \\u200b(u)x+3\)^2/4 - (y-1)^2/5 = 1\, multiplico ambos os lados por 20 para eliminar denominadores:
$$ 20 \Bigl(\frac{(x+3)^2}{4} - \frac{(y-1)^2}{5}\Bigr) = 20$$
$$ 5(x+3)^2 - 4(y-1)^2 = 20$$

Passo 3

Agora desenvolvo os quadrados:
$$ 5(x^2 + 6x + 9) - 4(y^2 - 2y + 1) = 20$$
$$ 5x^2 + 30x + 45 - 4y^2 + 8y - 4 = 20$$

Passo 4

E reorganizo para a forma geral \;Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0\:
$$ 5x^2 - 4y^2 + 30x + 8y + 21 = 0$$

Passo 5

Identifico os parâmetros da hipérbole padrão \$(x-h)2/a2 - (y-k)2/b2 = 1\$:
Centro: \(h,k) = (-3,1)\. a^2 = 4 \Rightarrow a = 2. b^2 = 5 \Rightarrow b = \sqrt{5}.
O valor de c (distância do centro aos focos) vem de \$c^2 = a^2 + b^2 = 4 + 5 = 9\$, logo c = 3.

Passo 6

Os vértices estão a uma distância a do centro ao longo do eixo transverso (horizontal):
$$ V_1 = (-3 - 2, 1) = (-5,1), \quad V_2 = (-3 + 2, 1) = (-1,1).$$

Passo 7

Os focos estão a uma distância c do centro, também no eixo horizontal:
$$ F_1 = (-3 - 3, 1) = (-6,1), \quad F_2 = (-3 + 3, 1) = (0,1).$$

Passo 8

As assíntotas da hipérbole têm equações
$$ y - 1 = \pm \frac{b}{a}(x + 3) = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}(x+3).$$

Passo 9

Para esboçar:
  • Marco o centro C(-3,1).
  • Desenho os vértices em (-5,1) e (-1,1).
  • Sobre o mesmo eixo, coloco os focos em (-6,1) e (0,1).
  • Traço as retas-guia (assíntotas) de inclinação ±√5/2 passando por C.
  • Por fim, desenho as duas ramificações da hipérbole abrindo-se para os lados, aproximando-se das assíntotas.

Passo 10

Pronto: com isso temos o gráfico completo, marcado centro, vértices, focos, eixos e assíntotas.

Resposta

Equação geral: 5x^2 - 4y^2 + 30x + 8y + 21 = 0.

Exercícios relacionados