Encontre f^prime(x).
i) f(x)=4 cossec x-cotg x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de uma função envolvendo funções trigonométricas:
f(x)=4,\csc x - \cot x
Estamos no conteúdo de derivadas de funções trigonométricas e vamos usar as fórmulas básicas para derivar csc x e cot x.

Passo 2

Antes de derivar, lembramos as regras:
A derivada de csc x é dada por
ddxl(csc xr) = -csc x ,cot x
e a derivada de cot x é
ddxl(cot xr) = -csc^2 x .

Passo 3

Agora aplicamos a linearidade da derivada em
f(x)=4,csc x - cot x
assim:
f'(x)=4,ddx(csc x) - ddx(cot x)
Substituindo as fórmulas que lembramos no passo anterior, temos:
f'(x)=4l(-csc x,cot xr) - l(-csc^2 xr)

Passo 4

Basta agora simplificar os sinais e agrupar termos semelhantes:
f'(x)=-4,csc x,cot x + csc^2 x
Podemos também fatorar csc x, se quisermos:
f'(x)=csc xl(-4,cot x + csc xr)

Resposta

f'(x)=-4,csc x,cot x+csc^2 x

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