Identidique e escreva a cônica dada na forma padrão:
x^2+4 x+4 y^2+8 y+4=0;

Passo 1

O enunciado pede para identificar que tipo de cônica é a equação
x² + 4x + 4y² + 8y + 4 = 0
e escrevê-la na sua forma padrão. O conteúdo envolvido é o de cônicas (conhecer os tipos) e completar quadrados para colocar na forma padrão.

Passo 2

Primeiro, agrupe os termos em x e em y separadamente para poder completar quadrados:
x² + 4x + 4y² + 8y + 4 = 0

Passo 3

Agora vamos completar os quadrados em x e em y. Para isso, adicionamos e subtraímos os termos necessários dentro da equação:
Começamos por x:
x² + 4x = x² + 4x + 4 - 4 = (x + 2)² - 4
E em y (repare que há fator 4 em 4y²):
4y² + 8y = 4(y² + 2y) = 4(y² + 2y + 1 - 1) = 4[(y + 1)² - 1] = 4(y + 1)² - 4
Substituindo de volta na equação original e reagru­pando os termos constantes:

Passo 4

Substituindo temos:
(x + 2)² - 4 + 4(y + 1)² - 4 + 4 = 0
Agora somamos os constantes:
-4 - 4 + 4 = -4
Logo a equação fica:
(x + 2)² + 4(y + 1)² - 4 = 0

Passo 5

Isolando os quadrados:
(x + 2)² + 4(y + 1)² = 4
Dividindo tudo por 4 para obter a forma padrão de uma elipse:

Passo 6

E finalmente chegamos à forma padrão:
(x + 2)²4 + (y + 1)²1 = 1²²
Essa é a equação de uma elipse com centro em (-2, -1) e semieixos de comprimento 2 (eixo x) e 1 (eixo y).

Resposta

É uma elipse e sua forma padrão é
(x + 2)²4 + (y + 1)²1 = 1²²

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