A equação
onde
é uma constante, é conhecida como equação de Laguerre. Essa equação surge em problemas de física matemática, como na descrição da parte radial do átomo de hidrogênio.
© Se
é um inteiro positivo
então a solução se reduz ao polinômio
. Considerando a normalização
, mostre que os 4 primeiros polinômios de Laguerre são dados por:
e
.
© Se
Passo 1
A parte © diz que, quando λ = n ∈ ℕ^*, a solução da equação de Laguerre se reduz a um polinômio L_n(x) normalizado por L_n(0)=1. Queremos mostrar explicitamente L_0, L_1, L_2 e L_3. Para isso, vamos usar a fórmula de Rodrigues, que nos dá uma expressão fechada para L_n(x).
Passo 2
A fórmula de Rodrigues para os polinômios de Laguerre é:
Com essa fórmula, basta escolher n e calcular as derivadas.
Passo 3
Para n=0, não há derivada a fazer.
Note que L_0(0)=1, conforme desejado.
Passo 4
Para n=1, aplicamos uma derivada:
portanto
ou seja L_1(x)=-x+1.
Passo 5
Para n=2, precisamos da segunda derivada:
-
. -
.
Logo
Passo 6
Para n=3, seguimos o mesmo processo:
-
. -
. -
.
Multiplicando porvem
Resposta
Os quatro primeiros polinômios de Laguerre são: