A equação
x y^prime prime+(1-x) y^prime+lambda y=0
onde lambda é uma constante, é conhecida como equação de Laguerre. Essa equação surge em problemas de física matemática, como na descrição da parte radial do átomo de hidrogênio.
© Se lambda é um inteiro positivo (lambda=n in N^*) então a solução se reduz ao polinômio Ln(x). Considerando a normalização Ln(0)=1, mostre que os 4 primeiros polinômios de Laguerre são dados por: L0(x)=1, L1(x)=-x+1, L2(x)=12(x^2-4 x+2) e L3(x)=16(-x^3+9 x^2-18 x+6).

Passo 1

A parte © diz que, quando λ = n ∈ ℕ^*, a solução da equação de Laguerre se reduz a um polinômio L_n(x) normalizado por L_n(0)=1. Queremos mostrar explicitamente L_0, L_1, L_2 e L_3. Para isso, vamos usar a fórmula de Rodrigues, que nos dá uma expressão fechada para L_n(x).

Passo 2

A fórmula de Rodrigues para os polinômios de Laguerre é:
Ln(x)=e^xn!d^ndx^nl(e^-xx^nr)
Com essa fórmula, basta escolher n e calcular as derivadas.

Passo 3

Para n=0, não há derivada a fazer.
L0(x)=e^x0!d^0dx^0(e^-xx^0)=e^xcdot e^-x=1
Note que L_0(0)=1, conforme desejado.

Passo 4

Para n=1, aplicamos uma derivada:
ddx(e^-xx)=e^-x-xe^-x,
portanto
L1(x)=e^x1!(e^-x-xe^-x)=1-x,
ou seja L_1(x)=-x+1.

Passo 5

Para n=2, precisamos da segunda derivada:
  1. d/dx(e^-xx^2)=e^-x(2x-x^2).
  2. d^2/dx^2(e^-xx^2)=e^-x(x^2-4x+2).
    Logo
L2(x)=e^x2!,e^-x(x^2-4x+2)=12(x^2-4x+2)

Passo 6

Para n=3, seguimos o mesmo processo:
  1. d/dx(e^-xx^3)=e^-x(3x^2-x^3).
  2. d^2/dx^2(e^-xx^3)=e^-x(x^3-6x^2+6x).
  3. d^3/dx^3(e^-xx^3)=e^-x(-x^3+9x^2-18x+6).
    Multiplicando por e^x/3! vem
L3(x)=16(-x^3+9x^2-18x+6)

Resposta

Os quatro primeiros polinômios de Laguerre são:
L0(x)=1
L1(x)=-x+1
L2(x)=12(x^2-4x+2)
L3(x)=16(-x^3+9x^2-18x+6)

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