Determine a equação geral e esboce o gráfico da cônica dada. Inclua no esboço informações relevantes como o(s) foco(s), o vértice ou centro, o(s) eixo(s) e a reta diretriz no caso da parábola.
(x+1)^2=6 y;

Passo 1

Neste exercício temos a cônica definida por (x+1)^2=6y. O conteúdo é parábola. Vamos precisar usar a forma canônica de parábola voltada para cima, (x-h)^2=4p(y-k), para identificar vértice, foco, diretriz e eixo de simetria.

Passo 2

Comparando (x+1)^2=6y com (x-h)^2=4p(y-k), vemos que h=-1, k=0 e 4p=6, portanto p=tfrac32.

Passo 3

O vértice é (h,k)=(-1,0). O foco é (h,k+p)=(-1,tfrac32). A reta diretriz é y=k-p=-tfrac32. O eixo de simetria é a reta x=-1.

Passo 4

Para a equação geral, expandimos e reorganizamos. Primeiro temos
x^2+2x+1=6y
e então
x^2+2x-6y+1=0.

Passo 5

No esboço do gráfico, desenhamos o eixo de simetria vertical x=-1, marcamos o vértice (-1,0) e o foco (-1,tfrac32), traçamos a diretriz y=-tfrac32 abaixo do vértice e esboçamos a parábola abrindo para cima a partir do vértice, passando entre foco e diretriz.

Resposta

Equação geral: x^2+2x-6y+1=0. Vértice (-1,0). Foco (-1,tfrac32). Diretriz y=-tfrac32. Eixo de simetria: x=-1.

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