A equação de Bessel de ordem nu é da seguinte forma:
x^2 y^prime prime+x y^prime+(x^2-nu^2) y=0
(d) Através do resultado do item c mostre que a primeira solução da EDO de Bessel de ordem 3/2 é
y1(x)=a0 x^3 / 2[1+sumn=1^infty (-1)^n 3(2 n+2)(2 n+3)! x^2 n]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, usando o resultado do item c (recorrência dos coeficientes na série de Frobenius), a primeira solução da equação de Bessel de ordem nu=3/2 é exatamente a dada. Vamos usar o método de Frobenius (série de potências com expoente genérico).

Passo 2

Supondo uma solução da forma y(x)=sumn=0^infty anx^n+r, ao substituir na equação de Bessel
x^2y''+xy'+(x^2-nu^2)y=0
comparamos coeficientes de x^n+r e obtemos a equação indicial
r^2-nu^2=0
Para nu=3/2 isto dá r=pm3/2. Tomamos r=3/2 para a primeira solução.

Passo 3

O resultado do item c fornece a relação de recorrência geral
an=-an-2(n+r)^2-nu^2
Como apenas os termos pares sobrevivem (os impares ficam nulos), escrevemos para n=2k:
a2k=-a2k-2(2k+r)^2-nu^2

Passo 4

Substituindo r=nu=3/2 temos
(2k+tfrac32)^2-(tfrac32)^2=2k(2k+3)
e portanto
a2k=-a2k-22k(2k+3)

Passo 5

Resolvendo recursivamente para k>=1 em função de a0:
a2k=(-1)^k a0prodj=1^k12j(2j+3)
Para calcular o produto, note que
prodj=1^k2j=2^kk!,
prodj=1^k(2j+3)=(2k+3)!3cdot2^k+1(k+1)!
Dessa forma se obtém
a2k=(-1)^k6(k+1)a0(2k+3)!=(-1)^k3(2k+2)a0(2k+3)!

Passo 6

Finalmente, montando a série temos
y1(x)=sumk=0^infty a2kx^2k+3/2 =a0x^3/2l[1+sumk=1^infty(-1)^k3(2k+2)(2k+3)!x^2kr],
ocorre exatamente a expressão pedida.

Resposta

y1(x)=a0x^3/2l[1+sumn=1^infty(-1)^n3(2n+2)(2n+3)!x^2nr]

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