A equação de Bessel de ordem
é da seguinte forma:
(d) Através do resultado do item
mostre que a primeira solução da EDO de Bessel de ordem 3/2 é
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, usando o resultado do item c (recorrência dos coeficientes na série de Frobenius), a primeira solução da equação de Bessel de ordem
é exatamente a dada. Vamos usar o método de Frobenius (série de potências com expoente genérico).
Passo 2
Supondo uma solução da forma
, ao substituir na equação de Bessel
comparamos coeficientes de
e obtemos a equação indicial
Para
isto dá
. Tomamos
para a primeira solução.
Passo 3
O resultado do item c fornece a relação de recorrência geral
Como apenas os termos pares sobrevivem (os impares ficam nulos), escrevemos para
:
Passo 4
Substituindo
temos
e portanto
Passo 5
Resolvendo recursivamente para
em função de
:
Para calcular o produto, note que
Dessa forma se obtém
Passo 6
Finalmente, montando a série temos
ocorre exatamente a expressão pedida.