Os métodos de expansão em série são diretamente aplicáveis em EDOs de primeira ordem homogêneas desde que p(x) seja analítica no ponto de expansão x0. Resolva as EDOs de primeira ordem abaixo e se possível compare com os métodos aprendidos anteriormente (para a comparação use a expansão em série de Taylor).
© y^prime=e^x^2 y em torno de x0=0 (escreva apenas os três primeiros termos). Res: y(x)= 1+x+12 x^2+12 x^3+ldots.

Passo 1

A questão pede para resolver a EDO de primeira ordem homogênea
Temos a EDO
y'=e^x^2y
em torno de x0=0, usando expansão em série (método de Taylor). Como é homogênea, podemos usar separação de variáveis ou o método direto de séries.

Passo 2

Primeiro identificamos o coeficiente p(x)=e^x^2, que é analítico em x=0. Expandimos em série de Taylor:
e^x^2= sumn=0^inftyx^2nn!
Nosso objetivo é integrar isso para obter ln y.

Passo 3

Integramos termo a termo para encontrar ln y:
ln y=integral e^x^2,dx=integralsumn=0^inftyx^2nn!,dx =sumn=0^inftyx^2n+1(2n+1),n!
Nosso interesse é até a ordem x^3, então:
ln y=x+x^33+O(x^5)

Passo 4

Agora exponenciamos para obter y:
y=expl(ln yr)=expl(x+x^33+dotsr) =exp(x),expl(x^33+dotsr)
Expandindo cada fator em série até x^3:
exp(x)=1+x+x^22+x^36+dots,
expl(x^33r)=1+x^33+O(x^6)
Multiplicando ambos (mantendo até x^3):
l(1+x+tfracx^22+tfracx^36r) l(1+tfracx^33r) =1+x+tfracx^22+l(tfracx^36+tfracx^33r)+dots =1+x+tfracx^22+tfracx^32+dots

Passo 5

Como geralmente impomos a condição y(0)=1 (constante de integração C=1), a série final até a ordem x^3 fica
y(x)=1+x+x^22+x^32+dots
Isso coincide com o resultado obtido por separação de variáveis e em seguida expansão em Taylor de
y=expl(integral0^x e^t^2,dtr)

Passo 6

Portanto, os três primeiros termos da solução em série são:

Resposta

y(x)=1+x+12x^2+12x^3+dots

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