Os métodos de expansão em série são diretamente aplicáveis em EDOs de primeira ordem homogêneas desde que
seja analítica no ponto de expansão
. Resolva as EDOs de primeira ordem abaixo e se possível compare com os métodos aprendidos anteriormente (para a comparação use a expansão em série de Taylor).
©
em torno de
(escreva apenas os três primeiros termos). Res:
.
©
Passo 1
A questão pede para resolver a EDO de primeira ordem homogênea
Temos a EDO
em torno de
, usando expansão em série (método de Taylor). Como é homogênea, podemos usar separação de variáveis ou o método direto de séries.
Passo 2
Primeiro identificamos o coeficiente
, que é analítico em
. Expandimos em série de Taylor:
Nosso objetivo é integrar isso para obter
.
Passo 3
Integramos termo a termo para encontrar
:
Nosso interesse é até a ordem
, então:
Passo 4
Agora exponenciamos para obter
:
Expandindo cada fator em série até
:
Multiplicando ambos (mantendo até
):
Passo 5
Como geralmente impomos a condição
(constante de integração
), a série final até a ordem
fica
Isso coincide com o resultado obtido por separação de variáveis e em seguida expansão em Taylor de
Passo 6
Portanto, os três primeiros termos da solução em série são: