Determine todos os valores de alpha para os quais todas as soluções das equações abaixo tendem a zero quando x 0 :
(b) x^2 y^prime prime+alpha y=0, Res: alpha>0.

Passo 1

O enunciado pede pra achar todos os valores de alpha tais que toda solução de
x^{2}y’’ + \alpha y = 0
tenda a zero quando xto0. O conteúdo é equação diferencial de Euler (ponto singular em 0) e vamos usar o método de Frobenius, buscando soluções da forma y=x^r.

Passo 2

Assumindo a solução de Frobenius y=x^r, temos:
y'=r x^r-1, y''=r(r-1)x^r-2
Substituindo em x^2y''+alpha y=0 obtemos
x^2l(r(r-1)x^r-2r)+alpha x^r=0
o que leva ao polinômio indicial
r(r-1)+alpha=0

Passo 3

Resolvendo a equação indicial:
r^2-r+alpha=0
as raízes são
r1,2=1pmraiz1-4alpha2
A solução geral fica
y=C1x^r1+C2x^r2(ou no caso comp<=xo r=tfrac12pm imu)

Passo 4

Para garantir yto0 quando xto0 para todas as soluções, precisamos que as partes reais de r1 e r2 sejam positivas. Se as raízes forem reais, o menor expoente é
r2=1-raiz1-4alpha2>0
o que equivale a
raiz1-4alpha<1implies1-4alpha<1impliesalpha>0
Se as raízes forem complexas (quando alpha>1/4), escreve-se
y=x^1/2l(Acos(muln x)+Bsin(muln x)r)
cujo fator x^1/2to0 faz yto0 também. Para alpha<=0 aparece pelo menos um expoente com parte real <=0, e nem toda solução tende a zero.

Passo 5

Concluímos então que a condição necessária e suficiente é alpha>0.

Resposta

alpha>0

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