Determine todos os valores de
para os quais todas as soluções das equações abaixo tendem a zero quando
:
(b)
Res:
.
(b)
Passo 1
O enunciado pede pra achar todos os valores de
tais que toda solução de
x^{2}y’’ + \alpha y = 0
tenda a zero quando . O conteúdo é equação diferencial de Euler (ponto singular em 0) e vamos usar o método de Frobenius, buscando soluções da forma
.
x^{2}y’’ + \alpha y = 0
tenda a zero quando
Passo 2
Assumindo a solução de Frobenius
, temos:
Substituindo em
obtemos
o que leva ao polinômio indicial
Passo 3
Resolvendo a equação indicial:
as raízes são
A solução geral fica
Passo 4
Para garantir
quando
para todas as soluções, precisamos que as partes reais de
e
sejam positivas. Se as raízes forem reais, o menor expoente é
o que equivale a
Se as raízes forem complexas (quando
), escreve-se
cujo fator
faz
também. Para
aparece pelo menos um expoente com parte real
, e nem toda solução tende a zero.
Passo 5
Concluímos então que a condição necessária e suficiente é
.