Determine a equação geral e esboce o gráfico da cônica dada.
(x+1)^2=6 y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a equação geral e esboçar o gráfico da cônica dada pela equação . Vamos precisar entender um pouco sobre parábolas e como transformar equações para a forma geral.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir a equação dada para obter a equação geral. Começamos expandindo (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1 :
x^2 + 2x + 1 = 6y
Agora, colocamos tudo na mesma página:
x^2 + 2x - 6y + 1 = 0
Para deixar a equação igual a zero, subtraímos x^2 + 2x - 6y + 1 = 0 de ambos os lados:
Então, a equação geral é:

Passo 3

Agora, vamos identificar que tipo de cônica estamos lidando. A equação original é uma parábola, porque tem elevado ao quadrado e na primeira potência.

Passo 4

Para esboçar o gráfico, vamos colocar a equação na forma padrão da parábola. A forma padrão é:
(x - h)^2 = 4p(y - k)
Comparando com a nossa equação , vemos que:
  • então
Isso significa que o vértice da parábola está no ponto e a parábola abre para cima porque é positivo.

Resposta

A equação geral da cônica é . O gráfico é uma parábola com vértice em que abre para cima.

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