Determine a equação geral e esboce o gráfico da cônica dada.
(y-3)^2=10(x-9)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação de uma cônica: . Nosso trabalho aqui é encontrar a equação geral dessa cônica e desenhar o gráfico dela. A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especificamente sobre cônicas, que incluem parábolas, elipses e hipérboles. Para resolver isso, vamos precisar entender o formato padrão da parábola e como manipular equações quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de cônica estamos lidando. A equação (y - k)^2 = 4p(x - h) é uma parábola porque uma das variáveis está ao quadrado e a outra não. No formato padrão de uma parábola que abre para a direita ou esquerda, temos:
Aqui, é o vértice da parábola e determina a distância do vértice ao foco e à diretriz.

Passo 3

Comparando a equação dada com o padrão, conseguimos identificar:
(y - 3)^2 = 10(x - 9)
Então:
Isso nos diz que a parábola tem o vértice em e abre para a direita porque é positivo.

Passo 4

Agora, vamos determinar a equação geral da parábola. A equação geral de uma cônica é a forma expandida:
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0
Para transformar nossa equação (y - 3)^2 = y^2 - 6y + 9 para essa forma, vamos expandir os termos:
Primeiro, expanda o lado esquerdo:
y^2 - 6y + 9 = 10x - 90
Então, a equação fica:
y^2 - 6y + 9 - 10x + 90 = 0
Agora, vamos levar todos os termos para o lado esquerdo:
y^2 - 10x - 6y + 99 = 0
Simplificando:
Essa é a equação geral da parábola.

Passo 5

Vamos agora esboçar o gráfico da parábola. Sabemos que o vértice está em e que a parábola abre para a direita porque é positivo.
Para desenhar, seguimos esses passos:
  1. Marque o vértice em .
  2. Como , o foco estará unidades à direita do vértice, ou seja, em .
  3. A diretriz será uma linha vertical unidades à esquerda do vértice, então .
  4. Desenhe a parábola abrindo para a direita a partir do vértice, passando pelo foco e ficando sempre à direita da diretriz.

Resposta

A equação geral da cônica é:
y^2 - 10x - 6y + 99 = 0
E o gráfico é uma parábola com vértice em que abre para a direita.

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