Determine a equação geral e esboce o gráfico da cônica dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação de uma cônica:
. Nosso trabalho aqui é encontrar a equação geral dessa cônica e desenhar o gráfico dela. A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especificamente sobre cônicas, que incluem parábolas, elipses e hipérboles. Para resolver isso, vamos precisar entender o formato padrão da parábola e como manipular equações quadráticas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de cônica estamos lidando. A equação
é uma parábola porque uma das variáveis está ao quadrado e a outra não. No formato padrão de uma parábola que abre para a direita ou esquerda, temos:
Aqui,
é o vértice da parábola e
determina a distância do vértice ao foco e à diretriz.
Passo 3
Comparando a equação dada com o padrão, conseguimos identificar:
Então:
-
-
-
→
Isso nos diz que a parábola tem o vértice em
e abre para a direita porque
é positivo.
Passo 4
Agora, vamos determinar a equação geral da parábola. A equação geral de uma cônica é a forma expandida:
Para transformar nossa equação
para essa forma, vamos expandir os termos:
Primeiro, expanda o lado esquerdo:
Então, a equação fica:
Agora, vamos levar todos os termos para o lado esquerdo:
Simplificando:
Essa é a equação geral da parábola.
Passo 5
Vamos agora esboçar o gráfico da parábola. Sabemos que o vértice está em
e que a parábola abre para a direita porque
é positivo.
Para desenhar, seguimos esses passos:
- Marque o vértice em
. - Como
, o foco estará unidades à direita do vértice, ou seja, em . - A diretriz será uma linha vertical
unidades à esquerda do vértice, então . - Desenhe a parábola abrindo para a direita a partir do vértice, passando pelo foco e ficando sempre à direita da diretriz.
Resposta
A equação geral da cônica é:
E o gráfico é uma parábola com vértice em
que abre para a direita.