Identifique e esboce as cônicas:
3 x^2-12 x+2 y^2+8 y+14=0

Passo 1

Vamos relembrar o enunciado: temos a cônica dada por 3x^2 - 12x + 2y^2 + 8y + 14 = 0. O conteúdo é classificação de cônicas e para resolver precisamos completar quadrados em x e y.

Passo 2

Primeiro agrupamos termos de x e y e fatoramos constantes:
3(x^2 - 4x) + 2(y^2 + 4y) + 14 = 0
Agora aplicamos completar quadrados:
x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4 e y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4.
Substituindo, fica
3l((x-2)^2 - 4r) + 2l((y+2)^2 - 4r) + 14 = 0

Passo 3

Expandimos os termos constantes:
3(x-2)^2 - 12 + 2(y+2)^2 - 8 + 14 = 0 implies 3(x-2)^2 + 2(y+2)^2 - 6 = 0
Isolando a soma de quadrados temos
3(x-2)^2 + 2(y+2)^2 = 6
Dividindo tudo por 6, chegamos à forma canônica.

Passo 4

Obtemos a forma canônica da cônica:
(x-2)^22 + (y+2)^23 = 1
Como os coeficientes nos denominadores são positivos, é uma elipse com centro em (2,-2).
Os semi-eixos são
a = raiz2 (horizontal) e b = raiz3 (vertical).

Passo 5

Para esboçar basta marcar o centro em (2,-2), os vértices horizontais em (2pmraiz2, -2) e os vértices verticais em (2, -2pmraiz3).
Traça-se a curva suave que passa por esses quatro pontos formando a elipse orientada segundo os eixos.

Resposta

É uma elipse com centro em (2,-2) e forma canônica
(x-2)^22 + (y+2)^23 = 1,
com semi-eixos raiz2 e raiz3.

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