Calcule as integrais definidas:
integral0^2 x1+x^2 cdot d x=

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de
integral0^2 x1+x^2,dx
Este é um problema de integração por substituição, pois no numerador temos a derivada (até constante) do denominador.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 1 + x^2
Então a diferencial é
du = 2x,dx Longrightarrow x,dx = du2

Passo 3

Vamos trocar os limites de integração. Quando x=0, temos u=1+0^2=1. Quando x=2, temos u=1+2^2=5. A integral fica
integralx=0^x=2 x1+x^2,dx = integralu=1^u=5 1u cdot du2 = 12 integral1^5 duu

Passo 4

Agora reconhecemos integral duu = ln|u|. Assim,
12 integral1^5 duu = 12 l[ln|u|r]1^5 = 12l(ln(5) - ln(1)r)
E como ln(1)=0, sobra

Passo 5

Aplicando o valor numérico, obtemos
12ln(5)

Resposta

tfrac12ln(5)

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