Determine a equação geral da esfera de centro C e raio r:
b) C(-3,1,2) e r=5

Passo 1

A questão pede a equação geral de uma esfera cujo centro é C(−3,1,2) e raio r=5. O conteúdo aqui é “equação da esfera” e vamos precisar usar a forma-padrão da esfera e depois expandir para obter a forma geral.

Passo 2

A forma-padrão da equação de uma esfera de centro (x0,y0,z0) e raio r é
(x - x0)^2 + (y - y0)^2 + (z - z0)^2 = r^2
Substituindo (x0,y0,z0)=(-3,1,2) e r=5 na forma-padrão, temos
(x + 3)^2 + (y - 1)^2 + (z - 2)^2 = 5^2 = 25

Passo 3

Para chegar na equação geral, basta expandir cada quadrado e coletar todos os termos de mesma ordem. Primeiro expandimos:
(x+3)^2 = x^2 + 6x +9,
(y-1)^2 = y^2 -2y +1,
(z-2)^2 = z^2 -4z +4
Somando essas expressões e subtraindo 25 para passar tudo para o mesmo lado, obtemos:
x^2 + 6x +9 + y^2 -2y +1 + z^2 -4z +4 -25 = 0
Agora simplificamos o termo constante: 9 +1 +4 -25 = -11. Logo a forma geral fica:
x^2 + y^2 + z^2 + 6x - 2y - 4z - 11 = 0

Resposta

x^2 + y^2 + z^2 + 6x - 2y - 4z - 11 = 0

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