Esboce as seguintes regiões no espaço:
(x, y, z) in R^3 ; x^2+y^2 <= 1, -1-x^2-y^2 <= z <= x^2+y^2

Passo 1

Neste exercício vamos esboçar no espaço a região definida por três condições: um cilindro, um paraboloide voltado para cima e outro voltado para baixo.

Passo 2

Primeiro identificamos as superfícies envolvidas: a condição x^2+y^2<=1 é um cilindro circular reto de raio 1, paralelo ao eixo z.
As duas desigualdades envolvendo z definem dois paraboloides de revolução:
z<= x^2+y^2, que é um paraboloide aberto para cima com vértice em (0,0,0), e
z>= -1-(x^2+y^2), que é um paraboloide aberto para baixo com vértice em (0,0,-1).

Passo 3

Em conjunto, a região é o conjunto de pontos dentro do cilindro de raio 1 cuja altura z fica entre os dois paraboloides. Note que, sobre a circunferência x^2+y^2=1, temos
zmin=-1-1=-2, zmax=1, logo o sólido vai de z=-2 até z=1.

Passo 4

Para esboçar, desenhe primeiro o cilindro x^2+y^2=1, depois risque o paraboloide inferior com vértice em (0,0,-1) curvando para baixo, e o superior com vértice em (0,0,0) curvando para cima. A interseção lateral é feita pelo cilindro e as “tampas” são os paraboloides.
O resultado é um sólido que, ao ser cortado por um plano horizontal z=z0, apresenta seções circulares (para -2<= z0<= -1 e -1<= z0<=0) e anulares (para 0), mas globalmente é um volume fechado limitado pelos três elementos mencionados.

Resposta

A região é o sólido dentro do cilindro de raio 1 ( x^2+y^2<=1), limitado acima pelo paraboloide z=x^2+y^2 e abaixo pelo paraboloide z=-1-(x^2+y^2), estendendo-se em z de -2 até 1. Esse conjunto forma um volume com “tampas” parabólicas e “laterais” cilíndricas.

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