Determine a equação geral da esfera de centro C e raio r:
c) C(-1,2,-3) e r=raiz3

Passo 1

O problema dá uma esfera com centro em C(-1,2,-3) e raio r=√3. O conteúdo é equação geral de uma esfera em geometria analítica, e vamos precisar usar a fórmula da forma padrão
(x-x0)^2 + (y-y0)^2 + (z-z0)^2 = r^2

Passo 2

Substituímos as coordenadas do centro e o quadrado do raio. Como o centro é x0=-1, y0=2, z0=-3 e r^2=(raiz3)^2=3, temos
(x+1)^2 + (y-2)^2 + (z+3)^2 = 3

Passo 3

Agora expandimos cada quadrado:
(x+1)^2 = x^2 + 2x +1,
(y-2)^2 = y^2 -4y +4,
(z+3)^2 = z^2 +6z +9

Passo 4

Somamos as expansões e igualamos a 3:
x^2 + 2x + 1 + y^2 -4y +4 + z^2 +6z +9 = 3
Reagrupando termos semelhantes e levando tudo para um lado:
x^2 + y^2 + z^2 + 2x -4y +6z + (1+4+9-3) = 0
Calculando a soma constante: 1+4+9-3=11.

Passo 5

Assim, a equação geral da esfera fica:
x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 4y + 6z + 11 = 0

Resposta

x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 4y + 6z + 11 = 0

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