Dê o nome e faça um esboço das superfícies dadas pelas equações abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente dar o nome e fazer um esboço da superfície definida pela equação
. Isso está dentro da matéria de Geometria Analítica no espaço tridimensional, mais especificamente sobre superfícies quadricas. Para resolver, vamos precisar entender como cada termo da equação influencia a forma da superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo de superfície. A equação está na forma geral de uma superfície quadrática, onde
está expressa em função de
e
. Observando os sinais dos coeficientes de
e
, vemos que temos um termo negativo para
e positivo para
.
Passo 3
Quando temos uma combinação de termos quadráticos com sinais diferentes, geralmente estamos lidando com um “paraboloide hiperbólico”. Esse tipo de superfície tem a forma de uma sela, onde em uma direção a superfície é côncava e na outra é convexa.
Passo 4
Para esboçar, imagine que para valores fixos de
, a equação se transforma em
, que é uma parábola abrindo para baixo. Já para valores fixos de
, fica
, que é uma parábola abrindo para cima. A combinação dessas formas gera a característica de sela do paraboloide hiperbólico.
Resposta
A superfície dada pela equação
é chamada de paraboloide hiperbólico. Seu esboço se assemelha a uma sela, apresentando curvaturas opostas nas direções dos eixos
e
.