Esboce as seguintes regiões no espaço:
Passo 1
O enunciado pede para desenhar em
a região dada pelas condições
e
. O conteúdo aqui envolve reconhecimento de cilindros elípticos e cones circulares, além de projeções no plano
.
Passo 2
Primeiro, projetamos a região no plano
. A inequação
define uma elipse centrada na origem, com semi-eixo maior
ao longo de
e semi-eixo menor
ao longo de
.
Em seguida, observamos que varia de
até
. A superfície
é um cone circular reto com eixo em
e abertura de 45°. Para cada ponto
dentro da elipse, o ponto mais alto da região está sobre esse cone.
Em seguida, observamos que
Passo 3
No esboço, primeiro desenhe a elipse no plano
. Depois, a partir de cada ponto da elipse, trace uma geratriz até tocar o cone
. Isso forma uma “tampa” cônica que intercepta a borda da elipse.
O sólido resultante é um volume com base elíptica plano em e topo definido por um cone circular. Internamente, ele é preenchido até o cone, sem ultrapassar a elipse na base.
O sólido resultante é um volume com base elíptica plano em
Passo 4
Para evidenciar a forma, pode-se esboçar algumas curvas de nível horizontais: em
, a interseção com o cone é
, mas cortada pela elipse se
. Isso ajuda a ver a transição da base elíptica para o topo circular.
Resposta
A região é o sólido com base a elipse
no plano
e topo pelo cone
. Ou seja, um cilindro elíptico “inclinado” pela parte de cima formando um cone circular que toca a elipse ao redor.