1. Determine a equação geral do plano beta paralelo ao plano
alpha: & x=1+h+2 t & y=2+2 h+t ; he t in IR e que & z=3 t
a) passa pelo ponto P(3,2,0);
b) passa pela origem do sistema de coordenadas.

Passo 1

O enunciado fornece o plano
com parâmetros paralelo a que satisfaça condições dadas.
Conteúdo: compreender que um plano paralelo tem o mesmo vetor normal e que da forma paramétrica extraímos dois vetores diretores para obter esse normal.

Passo 2

Dos termos que acompanham h e t identificamos vetores diretores de alpha:
vec v1 = (1,2,0) e vec v2 = (2,1,3).
O vetor normal vec n é dado pelo produto vetorial
vec n = vec v1 times vec v2 = (1,2,0)times(2,1,3) = (6,-3,-3)
Para simplificar, podemos dividir por 3 e usar
vec n = (2,-1,-1).

Passo 3

Um plano genérico paralelo a alpha tem equação
2x - y - z + D = 0,
onde D é constante a determinar conforme o ponto exigido.

Passo 4

Para que beta passe por P(3,2,0) basta substituir (x,y,z)=(3,2,0) em
2x - y - z + D = 0 ;Longrightarrow; 2cdot3 - 2 - 0 + D = 0 ;Longrightarrow; 6 - 2 + D = 0 ;Longrightarrow; D = -4
Logo, no caso (a)
beta:;2x - y - z - 4 = 0

Passo 5

Para que beta passe pela origem (0,0,0) substituímos em
2x - y - z + D = 0 ;Longrightarrow; 2cdot0 - 0 - 0 + D = 0 ;Longrightarrow; D = 0
Assim, no caso (b)
beta:;2x - y - z = 0,
que coincide com alpha pois alpha já satisfaz essa equação.

Resposta

(a) ;2x - y - z - 4 = 0
(b) ;2x - y - z = 0

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