Quais dos subconjuntos são Subespaços Vetoriais de V ?
W=(x, y, z, t) in R^4 mid y=0 e t=0, V=R^4

Passo 1

O enunciado tem V=R^4 e o subconjunto
W = (x,y,z,t)inR^4 mid y=0 e t=0
Queremos verificar se W é um subespaço vetorial de V. Para isso usamos a definição: um subconjunto não vazio de um espaço vetorial é subespaço se e somente se for fechado sob soma e multiplicação escalar.

Passo 2

Verificar que o vetor zero de V pertence a W. O vetor zero em R^4 é
(0,0,0,0),
que satisfaz y=0 e t=0. Logo
0=(0,0,0,0)in W,
portanto Wneqemptyset.

Passo 3

Fechamento sob soma. Tomemos dois vetores arbitrários em W:
u=(x1,0,z1,0), v=(x2,0,z2,0)
A soma é
u+v = (x1+x2,;0+0,;z1+z2,;0+0) = (x1+x2,,0,,z1+z2,,0)
Como as coordenadas y e t continuam zero, temos u+vin W.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar. Seja lambdainR e
u=(x,0,z,0)in W
Então
lambda u = (lambda x,;lambdacdot0,;lambda z,;lambdacdot0) = (lambda x,,0,,lambda z,,0),
que também satisfaz y=0 e t=0. Logo lambda uin W.

Passo 5

Como W contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar, concluímos que W é subespaço vetorial de V. Além disso, uma base natural de W é
(1,0,0,0),;(0,0,1,0),
portanto dim W=2.

Resposta

W é subespaço vetorial de V=R^4, com dim W=2 e base (1,0,0,0),(0,0,1,0).

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