Quais dos subconjuntos são Subespaços Vetoriais de
?
e
Passo 1
O enunciado tem
e o subconjunto
Queremos verificar se
é um subespaço vetorial de
. Para isso usamos a definição: um subconjunto não vazio de um espaço vetorial é subespaço se e somente se for fechado sob soma e multiplicação escalar.
Passo 2
Verificar que o vetor zero de
pertence a
. O vetor zero em
é
que satisfaz
e
. Logo
portanto
.
Passo 3
Fechamento sob soma. Tomemos dois vetores arbitrários em
:
A soma é
Como as coordenadas
e
continuam zero, temos
.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação escalar. Seja
e
Então
que também satisfaz
e
. Logo
.
Passo 5
Como
contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar, concluímos que
é subespaço vetorial de
. Além disso, uma base natural de
é
portanto
.