(7 pontos ) Calcule os valores reais de m e n de tal forma que o sistema linear x+2 y+2 z & =m 3 x-4 y+6 z & =4 2 x-6 y & +n z=1 possua infinitas soluções.

Passo 1

O enunciado pede os valores de m e n tais que o sistema
x + 2y + 2z = m, 3x - 4y + 6z = 4, 2x - 6y + n z = 1
tenha infinitas soluções. Para isso, precisamos que a matriz de coeficientes seja singular (determinante zero) e que o vetor de termos independentes esteja no espaço gerado pelas colunas da matriz (sistema consistente).

Passo 2

Calculamos o determinante da matriz dos coeficientes
A = 1 & 2 & 2 3 & -4 & 6 2 & -6 & n
Usando expansão por cofatores na primeira linha, obtemos
det A = -10,n + 40
Para det A=0 é necessário
-10,n + 40 = 0 Longrightarrow n = 4

Passo 3

Com n=4, a terceira equação fica
2x - 6y + 4z = 1
Como a matriz é singular (duas equações independentes), essa terceira equação deve ser combinação linear das duas primeiras para que não gere inconsistência. Escrevamos
2x - 6y + 4z = alpha,(x + 2y + 2z) + beta,(3x - 4y + 6z)
Comparando coeficientes de x,y,z achamos alpha=-1 e beta=1. Então, no lado direito dos termos independentes, precisamos ter
1 = alpha,m + betacdot 4 ;Longrightarrow; 1 = -1cdot m + 4 ;Longrightarrow; m = 3

Resposta

m = 3,; n = 4.

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