(7 pontos ) Calcule os valores reais de e de tal forma que o sistema linear possua infinitas soluções.
Passo 1
O enunciado pede os valores de m e n tais que o sistema
x + 2y + 2z = m, 3x - 4y + 6z = 4, 2x - 6y + n z = 1
tenha infinitas soluções. Para isso, precisamos que a matriz de coeficientes seja singular (determinante zero) e que o vetor de termos independentes esteja no espaço gerado pelas colunas da matriz (sistema consistente).
Passo 2
Calculamos o determinante da matriz dos coeficientes
A = 1 & 2 & 2 3 & -4 & 6 2 & -6 & n
Usando expansão por cofatores na primeira linha, obtemos
det A = -10,n + 40
Para det A=0 é necessário
-10,n + 40 = 0 Longrightarrow n = 4
Passo 3
Com n=4, a terceira equação fica
2x - 6y + 4z = 1
Como a matriz é singular (duas equações independentes), essa terceira equação deve ser combinação linear das duas primeiras para que não gere inconsistência. Escrevamos