Encontre o ponto de interseção entre as retas:
\begin{aligned} & r: X=(2,3,-4)+\lambda(-6,9,-2), \lambda \in \mathbb{R} \\\ & \mathrm{e} \\\ & s: X=(1,2,-1)+t(-1,2,-1), t \in \mathbb{R} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá duas retas em \mathbb{R}^3 em forma paramétrica:
r: X=(2,3,-4)+\lambda(-6,9,-2),\quad \lambda\in\mathbb{R}
s: X=(1,2,-1)+t(-1,2,-1),\quad t\in\mathbb{R}
O conteúdo aqui é interseção de retas no espaço: igualamos as coordenadas de r e s e resolvemos para \lambda e t.

Passo 2

Escrevendo as coordenadas de cada reta, temos
r(\lambda) = (2-6\lambda,\;3+9\lambda,\;-4-2\lambda)
s(t) = (1 - t,\;2+2t,\;-1 - t)
Igualando r(\lambda)=s(t)\), obtemos o sistema \[\begin{cases} 2 - 6\lambda = 1 - t,\\\\ 3 + 9\lambda = 2 + 2t,\\\\ -4 - 2\lambda = -1 - t. \end{cases}
Da primeira equação isolamos (t]:
2 - 6\lambda = 1 - t \quad\Longrightarrow\quad t = -1 + 6\lambda.

Passo 3

Substituímos t = -1 + 6\lambda na segunda equação:
3 + 9\lambda = 2 + 2(-1 + 6\lambda) \quad\Longrightarrow\quad 3 + 9\lambda = 2 - 2 + 12\lambda \quad\Longrightarrow\quad 3 = 3\lambda \quad\Longrightarrow\quad \lambda = 1.

Passo 4

Com \lambda = 1 achamos
t = -1 + 6\cdot1 = 5.
Verificamos na terceira equação:
-4 - 2(1) = -6 \quad\text{e}\quad -1 - 5 = -6,
confirmação de que vale. O ponto de interseção é dado por r(1):
r(1) = (2 - 6,\;3 + 9,\;-4 - 2) = (-4,\;12,\;-6).

Resposta

O ponto de interseção é (-4,\;12,\;-6).

Exercícios relacionados