Determine a equação geral do plano que contém a reta r: X=(-1,4,13)+\lambda(-4,1,1) e o ponto P=(-1,-2,3)
Escolha uma opção:
◯ a. 2 x-5 y+3 z-17=0
◯ b. -2 x-5 y+3 z-21=0
◯ c. x-10 y+6 z-37=0
◯ d. -x-10 y+6 z-39=0

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano que contém a reta r e o ponto P. Informações dadas:
  • A reta r é dada por X = (-1,4,13)+\lambda(-4,1,1).
    Portanto um ponto da reta é A = (-1,4,13) e o vetor direção da reta é \vec{v}=(-4,1,1).
  • O ponto externo dado é P = (-1,-2,3).
Queremos a equação do plano que passa por A e por P e que contenha a direção \vec{v}.

Passo 2

Estratégia prática (explicando a ideia): um plano pode ser descrito por um vetor normal \vec{n} (perpendicular ao plano) e um ponto do plano. Se encontramos dois vetores não colineares dentro do plano (por exemplo \vec{v} e o vetor \overrightarrow{AP}), o produto vetorial desses vetores dá um vetor normal \vec{n}=\vec{v}\times\overrightarrow{AP}. Depois usamos a forma vetorial do plano \vec{n}\cdot (X - X_0)=0 para obter a equação em x,y,z.

Passo 3

Calcular o vetor \overrightarrow{AP} (do ponto A até P):
\overrightarrow{AP} = P - A = (-1,-2,3) - (-1,4,13) = (0,-6,-10).

Passo 4

Calcular o produto vetorial \vec{n} = \vec{v}\times\overrightarrow{AP}.
Usamos \vec{v}=(-4,1,1) e \overrightarrow{AP}=(0,-6,-10). O produto vetorial (determinante) é
\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ -4 & 1 & 1 \\\\ 0 & -6 & -10 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1\cdot(-10) - 1\cdot(-6)) - \mathbf{j}((-4)\cdot(-10) - 1\cdot 0) + \mathbf{k}((-4)\cdot(-6) - 1\cdot 0).
Agora as contas:
\mathbf{i}(-10 + 6) - \mathbf{j}(40) + \mathbf{k}(24) = -4\mathbf{i} -40\mathbf{j} +24\mathbf{k}.
Logo um vetor normal é \vec{n}=(-4,-40,24). Podemos simplificar dividindo por -4 (qualquer múltiplo não-nulo serve), obtendo o vetor normal mais simples
\vec{n}=(1,10,-6).

Passo 5

A equação do plano com normal \vec{n}=(a,b,c)=(1,10,-6) e que passa por A=(-1,4,13) é
\vec{n}\cdot (X - A) = 0.
Escrevendo em componentes e expandindo:
1(x - (-1)) + 10(y - 4) -6(z - 13) = 0.
Calculando os termos:
x + 1 + 10y - 40 -6z + 78 = 0.
Somando as constantes:
x + 10y -6z + 39 = 0.
Esta é uma forma válida da equação do plano. Multiplicando por -1 (também válido) obtemos
-x -10y +6z -39 = 0.

Passo 6

Comparando com as opções, a equação -x -10y +6z -39 = 0 corresponde à alternativa d.

Resposta

d. -x-10 y+6 z-39=0

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