Determine a equação geral do plano que passa pelos pontos A=(-1,-2,-1), B=(2,-3,-1) e C=(3,-1,1).
Finalizar tentativa …
Passo 1
O enunciado pede: determinar a equação geral do plano que passa pelos pontos A=(-1,-2,-1), B=(2,-3,-1) e C=(3,-1,1).
Informações dadas:
A = (-1,-2,-1),\qquad B=(2,-3,-1),\qquad C=(3,-1,1).
O que precisamos encontrar: a equação geral do plano que contém esses três pontos (uma equação do tipo \,ax+by+cz+d=0\, com a,b,c,d reais, não todos nulos).
Passo 2
Primeiro passo prático: obtenho dois vetores que pertencem ao plano. Isso se faz subtraindo coordenadas dos pontos para formar vetores que ligam A a B e A a C.
Comentário didático rápido: vetores do plano servem para gerar uma direção no plano. Precisamos agora de um vetor perpendicular (normal) ao plano para montar a equação.
Passo 3
Para obter o vetor normal ao plano uso o produto vetorial (cross product) entre \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}. O produto vetorial de dois vetores em \mathbb{R}^3 dá um vetor perpendicular a ambos.
Seja \overrightarrow{u}=(u_1,u_2,u_3) e \overrightarrow{v}=(v_1,v_2,v_3). O produto vetorial \overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v} tem componentes
Aqui u_i e v_i são as componentes dos vetores; essa fórmula resulta de desenvolver o determinante da matriz com os vetores e os versores \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}.
Aplicando com \overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}=(3,-1,0) e \overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}=(4,1,2):
Calculamos cada componente do normal \mathbf{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}:
n_x = (-1)\cdot 2 - 0\cdot 1 = -2,
n_y = 0\cdot 4 - 3\cdot 2 = -6,
n_z = 3\cdot 1 - (-1)\cdot 4 = 3 + 4 = 7.
Logo
\mathbf{n}=(-2,-6,7).
Interpretação: \mathbf{n} é um vetor perpendicular ao plano. Se um vetor é normal, então o produto escalar entre \mathbf{n} e qualquer vetor que esteja no plano é zero.
Passo 4
Usando a forma ponto-normal da equação do plano: se \mathbf{n}=(a,b,c) é um vetor normal e P_0=(x_0,y_0,z_0) é um ponto conhecido do plano, então qualquer ponto P=(x,y,z) do plano satisfaz
\mathbf{n}\cdot (P-P_0)=0,
ou seja
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.
No nosso caso tomamos \mathbf{n}=(-2,-6,7) e o ponto A=(-1,-2,-1) como P_0. Substituindo: