Informações relevantes: para cada matriz precisamos (1) decidir se ela é inversível (ou seja, se existe uma matriz inversa) e (2) quando existir, calcular essa matriz inversa.]
Passo 2
Conceito útil (aula rapidinha): uma matriz quadrada M é inversível se e somente se \det(M)\neq 0. Para matrizes 2\times2 existe uma fórmula direta: para
Dica prática para prova: para 2\times2 sempre calcule ad-bc. Se for não nulo, troque a com d, mude sinal de b e c e multiplique por 1/\det.]
Passo 4
Agora B (caso 3\times3). Método escolhido: eliminação de Gauss-Jordan na matriz aumentada [B\mid I_3]. Por que esse método? Porque é direto para obter B^{-1} sem calcular cofatores longos; é bastante mecanizável em prova. Vou mostrar passo a passo as operações elementares (linhas) e explicar cada uma.
Dica de prova: mantenha frações em forma racional e reduza só no final; verifique cada operação subtraindo/ somando linhas.]
Passo 5
Antes de calcular C^{-1} vou primeiro verificar se C é inversível calculando \det\text{(C)}. Um jeito prático é desenvolver pela primeira linha (que tem dois zeros), usando cofatores. A primeira linha de C é (0,0,1,1), então
Como \det\text{(C)}=-5\neq0, C é inversível. Observação prática: o determinante sendo -5 indica que os cofatores/adjuntos serão múltiplos inteiros de 5, então a inversa terá entradas em \tfrac{1}{5}\mathbb{Z}, o que facilita checagens rápidas.]
Passo 6
Agora calculo C^{-1} por Gauss-Jordan na matriz aumentada [C\mid I_4]. Vou mostrar as operações mais relevantes e os resultados intermediários (cada operação é do tipo R_i\leftarrow combinação linear das linhas).
Dica de verificação rápida: multiplicar pela matriz original deve devolver I_4; outra checagem é que os numeradores acima são inteiros e, ao multiplicar por \det\text{(C)}=-5, obtem-se a matriz adjunta com entradas inteiras, como esperado.]