Verificar quais das seguintes matrizes são inversíveis e determinar as inversas respectivas:
A=\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\\\ 2 & 2 \end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 2 & 1 \end{array}\right), \quad C=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & -1 & 1 \\\\ 2 & 0 & 3 & 0 \end{array}\right) .

Passo 1

O enunciado pede para verificar quais das matrizes abaixo são inversíveis e, quando forem, determinar as inversas respectivas. As matrizes dadas são:
A=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]2 & 2\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\[4pt]1 & 1 & 0\\[4pt]0 & 2 & 1\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 & 1\\[4pt]1 & 0 & 0 & 1\\[4pt]1 & 1 & -1 & 1\\[4pt]2 & 0 & 3 & 0\end{pmatrix}.
Informações relevantes: para cada matriz precisamos (1) decidir se ela é inversível (ou seja, se existe uma matriz inversa) e (2) quando existir, calcular essa matriz inversa.]

Passo 2

Conceito útil (aula rapidinha): uma matriz quadrada M é inversível se e somente se \det(M)\neq 0. Para matrizes 2\times2 existe uma fórmula direta: para
M=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}
temos \det(M)=ad-bc e, quando \det(M)\neq0,
M^{-1}=\frac{1}{\det(M)}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
Vou usar isso para A.]

Passo 3

Aplicando a fórmula em A: os elementos são a=1, b=2, c=2, d=2. Então
\det(A)=1\cdot2-2\cdot2=2-4=-2.
Como \det(A)=-2\neq0, A é inversível. Usando a fórmula da inversa:
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix} =\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}2 & -2\\[4pt]-2 & 1\end{pmatrix}.
Fazendo as divisões:
A^{-1}=\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]1 & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
Dica prática para prova: para 2\times2 sempre calcule ad-bc. Se for não nulo, troque a com d, mude sinal de b e c e multiplique por 1/\det.]

Passo 4

Agora B (caso 3\times3). Método escolhido: eliminação de Gauss-Jordan na matriz aumentada [B\mid I_3]. Por que esse método? Porque é direto para obter B^{-1} sem calcular cofatores longos; é bastante mecanizável em prova. Vou mostrar passo a passo as operações elementares (linhas) e explicar cada uma.
Começamos com a matriz aumentada [B\mid I_3]:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).
Operação 1: zerar a entrada (2,1) com R_2\leftarrow R_2-R_1:
R_2\leftarrow R_2-R_1 \quad\Rightarrow\quad \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).
Operação 2: zerar a entrada (3,2) usando R_3\leftarrow R_3-2R_2:
R_3\leftarrow R_3-2R_2 \quad\Rightarrow\quad \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 3 & 2 & -2 & 1 \end{array}\right).
Operação 3: normalizar a terceira linha dividindo por 3: R_3\leftarrow \tfrac{1}{3}R_3:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{2}{3} & -\tfrac{2}{3} & \tfrac{1}{3} \end{array}\right).
Operação 4: zerar as entradas acima da terceira coluna:
  • R_1\leftarrow R_1-R_3 (elimina o 1 em posição (1,3));
  • R_2\leftarrow R_2+R_3 (elimina o -1 em posição (2,3)).
    Aplicando:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & \tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3}\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{2}{3} & -\tfrac{2}{3} & \tfrac{1}{3} \end{array}\right).
Agora a parte esquerda é a identidade I_3, então a parte direita é exatamente B^{-1}. Assim
B^{-1}=\begin{pmatrix} \tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3}\\[4pt] -\tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3}\\[4pt] \tfrac{2}{3} & -\tfrac{2}{3} & \tfrac{1}{3} \end{pmatrix}.
Dica de prova: mantenha frações em forma racional e reduza só no final; verifique cada operação subtraindo/ somando linhas.]

Passo 5

Antes de calcular C^{-1} vou primeiro verificar se C é inversível calculando \det\text{(C)}. Um jeito prático é desenvolver pela primeira linha (que tem dois zeros), usando cofatores. A primeira linha de C é (0,0,1,1), então
\det\text{(C)}=(-1)^{1+3}\cdot 1\cdot\det(M_{1,3}) + (-1)^{1+4}\cdot 1\cdot\det(M_{1,4}) =\det(M_{1,3}) - \det(M_{1,4}),
onde M_{1,3} é a matriz obtida removendo linha 1 e coluna 3, e M_{1,4} removendo linha 1 e coluna 4. Calculando os menores:
M_{1,3}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\[4pt]1 & 1 & 1\\[4pt]2 & 0 & 0\end{pmatrix}, \qquad M_{1,4}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]1 & 1 & -1\\[4pt]2 & 0 & 3\end{pmatrix}.
Calcule \det(M_{1,3}) (desenvolvendo pela primeira linha):
\det(M_{1,3})=1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}-0+\;1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]2 & 0\end{pmatrix} =0 + (1\cdot0-1\cdot2)=-2.
Calcule \det(M_{1,4}) (desenvolvendo pela primeira linha):
\det(M_{1,4})=1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]0 & 3\end{pmatrix}=1\cdot(1\cdot3-(-1)\cdot0)=3.
Portanto
\det\text{(C)}=\det(M_{1,3})-\det(M_{1,4})=(-2)-3=-5.
Como \det\text{(C)}=-5\neq0, C é inversível. Observação prática: o determinante sendo -5 indica que os cofatores/adjuntos serão múltiplos inteiros de 5, então a inversa terá entradas em \tfrac{1}{5}\mathbb{Z}, o que facilita checagens rápidas.]

Passo 6

Agora calculo C^{-1} por Gauss-Jordan na matriz aumentada [C\mid I_4]. Vou mostrar as operações mais relevantes e os resultados intermediários (cada operação é do tipo R_i\leftarrow combinação linear das linhas).
Matriz aumentada inicial:
\left(\begin{array}{cccc|cccc} 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 2 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).
Operação A: trocar R_1 com R_2 para obter pivô 1 na primeira coluna:
\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 2 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).
Operação B: zerar abaixo do pivô coluna 1:
  • R_3\leftarrow R_3-R_1,
  • R_4\leftarrow R_4-2R_1.
    Resultado:
\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 3 & -2 & 0 & -2 & 0 & 1 \end{array}\right).
Operação C: trocar R_2 com R_3 para ter pivô 1 na segunda coluna:
\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 3 & -2 & 0 & -2 & 0 & 1 \end{array}\right).
Operação D: zerar entradas abaixo do pivô da coluna 3 (usar R_3 como pivô da coluna 3):
  • R_2\leftarrow R_2+R_3 (elimina o -1 em (2,3)),
  • R_4\leftarrow R_4-3R_3 (elimina o 3 em (4,3)).
    Resultado:
\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -5 & -3 & -2 & 0 & 1 \end{array}\right).
Operação E: normalizar R_4 dividindo por -5:
R_4\leftarrow -\tfrac{1}{5}R_4 \quad\Rightarrow\quad \left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & \tfrac{3}{5} & \tfrac{2}{5} & 0 & -\tfrac{1}{5} \end{array}\right).
Operação F: zerar as entradas acima do pivô em coluna 4 (usar R_4):
  • R_1\leftarrow R_1-R_4,
  • R_2\leftarrow R_2-R_4,
  • R_3\leftarrow R_3-R_4.
Aplicando essas subtrações obtemos a forma reduzida por linhas com a identidade à esquerda:
\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 & -\tfrac{3}{5} & \tfrac{3}{5} & 0 & \tfrac{1}{5}\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0 & \tfrac{2}{5} & -\tfrac{7}{5} & 1 & \tfrac{1}{5}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & \tfrac{2}{5} & -\tfrac{2}{5} & 0 & \tfrac{1}{5}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & \tfrac{3}{5} & \tfrac{2}{5} & 0 & -\tfrac{1}{5} \end{array}\right).
A parte esquerda é I_4, portanto a parte direita é C^{-1}. Para facilitar leitura, reescrevo C^{-1} tirando denominadores:
C^{-1}= \begin{pmatrix} -\tfrac{3}{5} & \tfrac{3}{5} & 0 & \tfrac{1}{5}\\[4pt] \tfrac{2}{5} & -\tfrac{7}{5} & 1 & \tfrac{1}{5}\\[4pt] \tfrac{2}{5} & -\tfrac{2}{5} & 0 & \tfrac{1}{5}\\[4pt] \tfrac{3}{5} & \tfrac{2}{5} & 0 & -\tfrac{1}{5} \end{pmatrix}.
Dica de verificação rápida: multiplicar pela matriz original deve devolver I_4; outra checagem é que os numeradores acima são inteiros e, ao multiplicar por \det\text{(C)}=-5, obtem-se a matriz adjunta com entradas inteiras, como esperado.]

Resposta

A^{-1}=\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]1 & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}
B^{-1}=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3}\\[4pt]-\tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3}\\[4pt]\tfrac{2}{3} & -\tfrac{2}{3} & \tfrac{1}{3}\end{pmatrix}
C^{-1}=\begin{pmatrix} -\tfrac{3}{5} & \tfrac{3}{5} & 0 & \tfrac{1}{5}\\[4pt] \tfrac{2}{5} & -\tfrac{7}{5} & 1 & \tfrac{1}{5}\\[4pt] \tfrac{2}{5} & -\tfrac{2}{5} & 0 & \tfrac{1}{5}\\[4pt] \tfrac{3}{5} & \tfrac{2}{5} & 0 & -\tfrac{1}{5} \end{pmatrix}

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