Determine a equação geral do plano que contém a reta \left\{\begin{array}{l}y=2 x-3 \\\ z=-x+2\end{array}\right. e é perpendicular ao plano 2 x+y-z+5=0.

Passo 1

O enunciado dá uma reta descrita por
\begin{cases} y=2x-3\\[4pt] z=-x+2 \end{cases}
e um plano cujo equação é
2x+y-z+5=0.
O que se pede é a equação geral do plano que (1) contém a reta acima e (2) é perpendicular ao plano \,2x+y-z+5=0.]

Passo 2

Vamos extrair da reta um ponto qualquer que pertença a ela e o seu vetor diretor. Para isso parametrizamos a reta escolhendo x=t. Então
y=2t-3,\qquad z=-t+2.
Tomando t=0 obtemos um ponto da reta
P_0=(0,-3,2).
O vetor diretor da reta vem dos coeficientes de t:
\vec{v}=(1,2,-1).
Explicando didaticamente: parametrizar é escrever cada coordenada em função de um parâmetro t. O vetor que multiplica t é o vetor direção da reta; escolher t=0 nos dá um ponto concreto da reta.

Passo 3

Agora, condição de perpendicularidade entre planos: se dois planos são perpendiculares, então seus vetores normais são perpendiculares. O plano dado tem vetor normal
\vec{n}_1=(2,1,-1),
obtido diretamente dos coeficientes da equação 2x+y-z+5=0 (o vetor (a,b,c) é normal ao plano ax+by+cz+d=0).
O plano que queremos terá um vetor normal \vec{n} que deve satisfazer duas condições:
  1. \vec{n} é perpendicular ao vetor diretor da reta \vec{v} (porque \vec{v} está contido no plano), ou seja \vec{n}\cdot\vec{v}=0.
  2. \vec{n} é perpendicular ao vetor normal do plano dado \vec{n}_1 (porque os planos são perpendiculares), ou seja \vec{n}\cdot\vec{n}_1=0.

Passo 4

Uma maneira prática de obter um vetor \vec{n} perpendicular a dois vetores dados é calcular o produto vetorial (cross product). Ou seja podemos tomar
\vec{n}=\vec{n}_1\times\vec{v}.
Lembrete didático sobre produto vetorial: \vec{a}\times\vec{b} produz um vetor perpendicular tanto a \vec{a} quanto a \vec{b}. Em coordenadas,
\vec{n}_1\times\vec{v}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[4pt] 2 & 1 & -1 \\[4pt] 1 & 2 & -1 \end{vmatrix}.]

Passo 5

Calculamos o determinante componente a componente:
\vec{n}=\big(1\cdot(-1)-(-1)\cdot2,\;-(2\cdot(-1)-(-1)\cdot1),\;2\cdot2-1\cdot1\big).
Agora simplificando cada componente:
\vec{n}=( -1+2,\; -(-2+1),\;4-1)=(1,1,3).
Comentário: podemos multiplicar \vec{n} por qualquer escalar e ainda obter o mesmo plano; escolhemos o vetor simples (1,1,3).

Passo 6

Verificação rápida (para ganhar confiança): verificar que \vec{n} é ortogonal tanto a \vec{v} quanto a \vec{n}_1.
\vec{n}\cdot\vec{v}=1\cdot1+1\cdot2+3\cdot(-1)=1+2-3=0,
\vec{n}\cdot\vec{n}_1=1\cdot2+1\cdot1+3\cdot(-1)=2+1-3=0.
Portanto \vec{n}=(1,1,3) satisfaz as condições.

Passo 7

Agora usamos a forma ponto-normal da equação de um plano: se \vec{n}=(a,b,c) é normal e P_0=(x_0,y_0,z_0) é um ponto do plano, então a equação é
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.
Aqui a=1,\;b=1,\;c=3 e usamos o ponto P_0=(0,-3,2). Substituindo:
1\,(x-0)+1\,(y+3)+3\,(z-2)=0.

Passo 8

Desenvolvendo e simplificando a expressão:
x + y +3 +3z -6 =0,
x + y +3z -3 =0.
Essa é a equação geral do plano procurado. Podemos deixá-la nessa forma ou multiplicá-la por um escalar qualquer (não muda o plano).

Resposta

x+y+3z-3=0

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