Determine a equação geral do plano que contém a reta \left\{\begin{array}{l}y=2 x-3 \\\ z=-x+2\end{array}\right. e é perpendicular ao plano 2 x+y-z+5=0.
Passo 1
O enunciado dá uma reta descrita por
\begin{cases} y=2x-3\\[4pt] z=-x+2 \end{cases}
e um plano cujo equação é
2x+y-z+5=0.
O que se pede é a equação geral do plano que (1) contém a reta acima e (2) é perpendicular ao plano \,2x+y-z+5=0.]
Passo 2
Vamos extrair da reta um ponto qualquer que pertença a ela e o seu vetor diretor. Para isso parametrizamos a reta escolhendo x=t. Então
y=2t-3,\qquad z=-t+2.
Tomando t=0 obtemos um ponto da reta
P_0=(0,-3,2).
O vetor diretor da reta vem dos coeficientes de t:
\vec{v}=(1,2,-1).
Explicando didaticamente: parametrizar é escrever cada coordenada em função de um parâmetro t. O vetor que multiplica t é o vetor direção da reta; escolher t=0 nos dá um ponto concreto da reta.
Passo 3
Agora, condição de perpendicularidade entre planos: se dois planos são perpendiculares, então seus vetores normais são perpendiculares. O plano dado tem vetor normal
\vec{n}_1=(2,1,-1),
obtido diretamente dos coeficientes da equação 2x+y-z+5=0 (o vetor (a,b,c) é normal ao plano ax+by+cz+d=0).
O plano que queremos terá um vetor normal \vec{n} que deve satisfazer duas condições:
\vec{n} é perpendicular ao vetor diretor da reta \vec{v} (porque \vec{v} está contido no plano), ou seja \vec{n}\cdot\vec{v}=0.
\vec{n} é perpendicular ao vetor normal do plano dado \vec{n}_1 (porque os planos são perpendiculares), ou seja \vec{n}\cdot\vec{n}_1=0.
Passo 4
Uma maneira prática de obter um vetor \vec{n} perpendicular a dois vetores dados é calcular o produto vetorial (cross product). Ou seja podemos tomar
\vec{n}=\vec{n}_1\times\vec{v}.
Lembrete didático sobre produto vetorial: \vec{a}\times\vec{b} produz um vetor perpendicular tanto a \vec{a} quanto a \vec{b}. Em coordenadas,