Se \vec{u}=(-2,-1,-2) e \vec{v}=(-3,1,-1) săo vetores diretores de um plano \pi e P=(-1,2,1) \in \pi, então a equação geral de \pi é:
Escolha uma opção:
a. x+8 y+5 z-20=0
b. x-4 y-z+10=0
c. 3 x+8 y-z-12=0
d. 3 x+4 y-5 z=0
e. x+4 y+z-8=0

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores diretores de um plano \pi,
\vec u = (-2,-1,-2) e \vec v = (-3,1,-1),
e um ponto P=(-1,2,1) que pertence a \pi.
Para achar a equação geral de \pi, vamos primeiro encontrar um vetor normal \vec n a partir de \vec u e \vec v, e depois usar a forma
n_x x + n_y y + n_z z + D = 0
substituindo P para determinar D.

Passo 2

O vetor normal \vec n é dado pelo produto vetorial \vec u \times \vec v:
\vec n = \vec u \times \vec v = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\\ -2 & -1 & -2\\\\ -3 & 1 & -1 \end{vmatrix}
Calculando componente a componente:
n_x = (-1)(-1) - (-2)(1) = 1 + 2 = 3,
n_y = -\bigl((-2)(-1) - (-2)(-3)\bigr) = -\bigl(2 - 6\bigr) = 4,
n_z = (-2)(1) - (-1)(-3) = -2 - 3 = -5.
Logo \vec n = (3,4,-5).

Passo 3

A equação geral do plano tem a forma
3x + 4y -5z + D = 0.
Como P=(-1,2,1) pertence a \pi, substituímos para achar D:
3(-1) + 4\cdot2 - 5\cdot1 + D = 0 \;\Longrightarrow\;-3 + 8 -5 + D = 0 \;\Longrightarrow\;0 + D = 0 \;\Longrightarrow\;D = 0.
Portanto a equação é
3x + 4y - 5z = 0.

Passo 4

Comparando com as alternativas fornecidas, a que coincide com
\;3x + 4y -5z = 0\; é a letra (d).

Resposta

(d)

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