Determine uma equação geral do plano que contém as retas
x-13=y+25=z+613 e x-49=y-35=z-74

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas em forma simétrica e pede a equação geral do plano que as contém. O conteúdo é geometria analítica no espaço: para resolver, vamos extrair de cada reta um ponto e um vetor diretor, usar o produto vetorial para obter o vetor normal ao plano e finalmente montar a equação ponto–normal.

Passo 2

Da primeira reta
x-13=y+25=z+613
podemos tomar o parâmetro t e escrever
x=1+3t, y=-2+5t, z=-6+13t
Assim, um ponto é
,P1=(1,-2,-6)
e o vetor diretor é
,vec v1=(3,5,13).
Da segunda reta
x-49=y-35=z-74
com parâmetro s vem
x=4+9s, y=3+5s, z=7+4s,
de onde
,P2=(4,3,7)
e
,vec v2=(9,5,4).

Passo 3

O vetor normal vec n do plano é perpendicular a vec v1 e vec v2, portanto obtemos
vec n = vec v1 times vec v2 = i & j & k 3 & 5 & 13 9 & 5 & 4 = (-45,,105,,-30)
Podemos simplificar dividindo por -15:
,vec n=(3,,-7,,2).

Passo 4

Usando a forma ponto–normal do plano com vec n=(3,-7,2) e o ponto P1=(1,-2,-6), escrevemos
3,(x-1)-7,(y+2)+2,(z+6)=0
Expandindo e rearranjando,
3x-3-7y-14+2z+12=0 Longrightarrow 3x-7y+2z-5=0

Resposta

A equação geral do plano é
boxed3x - 7y + 2z - 5 = 0

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