Verifique se pi1=pi2 nos seguintes casos:
pi1: X=(2,1,3)+lambda(1,1,-1)+mu(1,0,1)
pi2: X=(0,1,1)+alpha(1,3,-5)+beta(1,-1,3)

Passo 1

O enunciado dá dois planos em forma paramétrica em R^3:
pi1:X=(2,1,3)+lambda(1,1,-1)+mu(1,0,1),
pi2:X=(0,1,1)+alpha(1,3,-5)+beta(1,-1,3)
Queremos saber se pi1=pi2. Para isso usamos a teoria de geometria analítica: dois planos coincidem se e somente se seus vetores normais são proporcionais (planos paralelos) e um ponto de um está contido no outro.

Passo 2

Vamos extrair os vetores diretores e calcular o normal de pi1.
Vetores diretores
v1=(1,1,-1), w1=(1,0,1).
Normal dado pelo produto vetorial
n1=v1timesw1 = i&j&k 1&1&-1 1&0&1 =(1,-2,-1)

Passo 3

Agora o normal de pi2.
Vetores diretores
v2=(1,3,-5), w2=(1,-1,3).
n2=v2timesw2 = i&j&k 1&3&-5 1&-1&3 =(4,-8,-4)=4,(1,-2,-1)=4,n1
Como n2 é múltiplo escalar de n1, os planos são paralelos (ou coincidentes).

Passo 4

Para distinguir paralelismo de coincidência, verificamos se um ponto de pi2 pertence a pi1.
Ponto base de pi1: P1=(2,1,3).
Ponto base de pi2: P2=(0,1,1).
Forma vetorial, P1P2=P2-P1=(-2,0,-2).
Testamos
n1cdotP1P2 =(1,-2,-1)cdot(-2,0,-2) =-2+0+2=0
Como o produto escalar é zero, P2 está em pi1.

Passo 5

Tendo normais proporcionais e um ponto de pi2 em pi1, concluímos que os planos coincidem.

Resposta

pi1 = pi2.

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