O enunciado dá dois planos em forma paramétrica em :
Queremos saber se . Para isso usamos a teoria de geometria analítica: dois planos coincidem se e somente se seus vetores normais são proporcionais (planos paralelos) e um ponto de um está contido no outro.
Passo 2
Vamos extrair os vetores diretores e calcular o normal de .
Vetores diretores , .
Normal dado pelo produto vetorial
Passo 3
Agora o normal de pi2.
Vetores diretores v2=(1,3,-5), w2=(1,-1,3).
Como n2 é múltiplo escalar de n1, os planos são paralelos (ou coincidentes).
Passo 4
Para distinguir paralelismo de coincidência, verificamos se um ponto de pi2 pertence a pi1.
Ponto base de pi1: P1=(2,1,3).
Ponto base de pi2: P2=(0,1,1).
Forma vetorial, P1P2=P2-P1=(-2,0,-2).
Testamos
n1cdotP1P2 =(1,-2,-1)cdot(-2,0,-2) =-2+0+2=0
Como o produto escalar é zero, P2 está em pi1.
Passo 5
Tendo normais proporcionais e um ponto de pi2 em pi1, concluímos que os planos coincidem.