Obtenha uma base para o conjunto de vetores
do
tais que
. Qual a dimensão desse subespaço?
Passo 1
O enunciado pede uma base para o subespaço de
definido pela equação
O que vamos usar é a ideia de resolver essa equação linear homogênea por parametrização, encontrando vetores que geram todo o espaço solução e que sejam linearmente independentes.
Passo 2
Isolamos uma das variáveis em função das outras. Por exemplo,
Como sobra liberdade para
e
, vamos definir dois parâmetros:
e
, com
.
Passo 3
Substituindo
e
em
obtemos
Isso pode ser escrito como combinação linear de dois vetores:
Passo 4
Como
gera todo o subespaço e seus vetores são claramente independentes (nenhum é múltiplo do outro), esse conjunto é uma base. O número de vetores na base é a dimensão do subespaço.
Resposta
Uma base é
e a dimensão desse subespaço é
.