Obtenha uma base para o conjunto de vetores (x, y, z) do R^3 tais que x+2 y+z=0. Qual a dimensão desse subespaço?

Passo 1

O enunciado pede uma base para o subespaço de R^3 definido pela equação
x + 2y + z = 0
O que vamos usar é a ideia de resolver essa equação linear homogênea por parametrização, encontrando vetores que geram todo o espaço solução e que sejam linearmente independentes.

Passo 2

Isolamos uma das variáveis em função das outras. Por exemplo,
x = -2y - z
Como sobra liberdade para y e z, vamos definir dois parâmetros: y = s e z = t, com s,t in R.

Passo 3

Substituindo y=s e z=t em (x,y,z) obtemos
(x,y,z) = (-2s - t,;s,;t)
Isso pode ser escrito como combinação linear de dois vetores:
(x,y,z) = s,(-2,1,0) ;+; t,(-1,0,1)

Passo 4

Como (-2,1,0),,(-1,0,1) gera todo o subespaço e seus vetores são claramente independentes (nenhum é múltiplo do outro), esse conjunto é uma base. O número de vetores na base é a dimensão do subespaço.

Resposta

Uma base é (-2,1,0),,(-1,0,1) e a dimensão desse subespaço é 2.

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