Mostre que o conjunto 1, sen(t), sen(2 t) de vetores de C(R) é linearmente independente.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto 1,;sen(t),;sen(2t)subset C(R) é linearmente independente. Isto significa que, se uma combinação
alphacdot 1 ;+;beta,sen(t);+;gamma,sen(2t) ;=;0 para todo tinR,
então devemos concluir que alpha=beta=gamma=0.

Passo 2

Suponha, em busca de contradição, que existam escalares alpha,beta,gamma tais que
alpha + beta,sen(t) + gamma,sen(2t) = 0
para todo tinR.

Passo 3

Escolhendo t=0, nota-se que sen(0)=0 e sen(2cdot0)=0. Portanto a combinação fica
alpha + betacdot 0 + gammacdot 0 = 0 Longrightarrow alpha = 0

Passo 4

Com alpha=0, a condição reduz-se a
beta,sen(t) + gamma,sen(2t) = 0
para todo t.

Passo 5

Avaliando em t=tfracpi2, temos sen(tfracpi2)=1 e sen(pi)=0. Logo
betacdot 1 + gammacdot 0 = 0 Longrightarrow beta = 0

Passo 6

Agora avalie em t=tfracpi6. Então sen(tfracpi6)=tfrac12 e sen(tfracpi3)=tfracraiz32. Como já sabemos que beta=0, a igualdade
0 + gamma,raiz32 = 0
implica
gamma = 0

Resposta

Como a única solução para
alpha,1 + beta,sen(t) + gamma,sen(2t)=0 é
alpha=beta=gamma=0, concluímos que o conjunto 1,sen(t),sen(2t) é linearmente independente.

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