Determine a equação geral do plano que passa pelo ponto A e possui vetor normal \vec{n}.
A=(0,1,2) e \vec{n}=(2,3,0)

Passo 1

O enunciado pede que eu determine a equação geral do plano que passa pelo ponto A e tem vetor normal \vec{n}.
Informações dadas:
A=(0,1,2) e \vec{n}=(2,3,0).
Pergunta: encontre a equação geral (forma linear) do plano que contém A e tem \vec{n} como vetor normal.

Passo 2

Conceito essencial que vou usar (explicado devagar): uma equação muito útil para um plano é obtida com o produto escalar. Se \vec{n}=(a,b,c) é um vetor normal ao plano e P_0=(x_0,y_0,z_0) é um ponto do plano, então todo ponto P=(x,y,z) do plano satisfaz
\vec{n}\cdot (P-P_0)=0.
Aqui \vec{n}\cdot (P-P_0) é o produto escalar entre os vetores \vec{n} e P-P_0. O produto escalar de \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3) é definido por
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
Isso mede “quanto” os vetores estão apontando na mesma direção; se \vec{n} é normal ao plano, então qualquer vetor do plano ( P-P_0) é ortogonal a \vec{n}, portanto o produto escalar é zero.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso: \vec{n}=(2,3,0) e P_0=A=(0,1,2). Então escrevo o vetor P-P_0 como (x-0,y-1,z-2)=(x,y-1,z-2). O produto escalar é
(2,3,0)\cdot (x,y-1,z-2)=0.
Vou agora calcular esse produto escalar termo a termo usando a definição: multiplico componentes correspondentes e somo.

Passo 4

Calculemos componente a componente:
2\cdot x + 3\cdot (y-1) + 0\cdot (z-2)=0.
Observe que 0\cdot (z-2)=0, então essa parte some e a equação fica
2x + 3(y-1)=0.

Passo 5

Agora simplifico a expressão para chegar na forma linear padrão:
2x + 3y - 3 = 0.
Pronto — essa é a equação geral do plano. Repare que a coordenada z desapareceu (coeficiente zero), o que significa que o plano não depende de z e é paralelo ao eixo z (ou seja, contém todas as retas paralelas ao eixo z que cruzam a reta dada em xy). Também dá para checar rapidamente que o ponto A=(0,1,2) satisfaz a equação: 2\cdot 0 + 3\cdot 1 -3 =0, então está correto.

Resposta

2x+3y-3=0

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