Determine a equação geral do plano que passa pelo ponto
e possui vetor normal
.
e
Passo 1
O enunciado pede que eu determine a equação geral do plano que passa pelo ponto
e tem vetor normal
.
Informações dadas:
e
.
Pergunta: encontre a equação geral (forma linear) do plano que contém e tem
como vetor normal.
Informações dadas:
Pergunta: encontre a equação geral (forma linear) do plano que contém
Passo 2
Conceito essencial que vou usar (explicado devagar): uma equação muito útil para um plano é obtida com o produto escalar. Se
é um vetor normal ao plano e
é um ponto do plano, então todo ponto
do plano satisfaz
Aqui
é o produto escalar entre os vetores
e
. O produto escalar de
e
é definido por
Isso mede “quanto” os vetores estão apontando na mesma direção; se
é normal ao plano, então qualquer vetor do plano (
) é ortogonal a
, portanto o produto escalar é zero.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso:
e
. Então escrevo o vetor
como
. O produto escalar é
Vou agora calcular esse produto escalar termo a termo usando a definição: multiplico componentes correspondentes e somo.
Passo 4
Calculemos componente a componente:
Observe que
, então essa parte some e a equação fica
Passo 5
Agora simplifico a expressão para chegar na forma linear padrão:
Pronto — essa é a equação geral do plano. Repare que a coordenada
desapareceu (coeficiente zero), o que significa que o plano não depende de
e é paralelo ao eixo
(ou seja, contém todas as retas paralelas ao eixo
que cruzam a reta dada em
). Também dá para checar rapidamente que o ponto
satisfaz a equação:
, então está correto.