Sérgio inventou as operações matemáticas # e @ entre números inteiros, como abaixo:
  • a \sharp b=a^{2}+b^{2}
  • a @ b=(a+b)^{2}
Por exemplo, 1 \sharp 4=17 e 1 @(-6)=25.
Utilizando as operações criadas por Sérgio, responda às perguntas abaixo:
(b) Se (x-5) \sharp(y-6)=0, qual é o valor de x @ y ?

Passo 1

O enunciado dá as operações criadas por Sérgio:
a \sharp b = a^{2} + b^{2}
a @ b = (a+b)^{2}
E informa que
(x-5)\sharp(y-6)=0.
A pergunta é: qual é o valor de x@y?

Passo 2

Entender uma propriedade básica usada aqui: para qualquer número real t vale
t^{2}\ge 0,
e a única maneira de ter t^{2}=0 é quando t=0. Em outras palavras, um quadrado é sempre não negativo e só é zero se o próprio número for zero. Esse fato vale para inteiros também (inteiros são casos particulares de reais).

Passo 3

Usando a definição de \sharp e a equação dada, escrevemos explicitamente:
(x-5)^{2} + (y-6)^{2} = 0.
Cada parcela (x-5)^{2} e (y-6)^{2} é não negativa. A soma de duas quantidades não negativas só pode ser zero se cada uma delas for zero. Portanto
(x-5)^{2}=0\quad\text{e}\quad (y-6)^{2}=0.
Assim
x-5=0\quad\Rightarrow\quad x=5,
y-6=0\quad\Rightarrow\quad y=6.

Passo 4

Agora calculamos x@y usando a definição de @:
x@y=(x+y)^{2}.
Substituindo x=5 e y=6,
x@y=(5+6)^{2}=11^{2}=121.

Resposta

121

Exercícios relacionados