Sérgio inventou as operações matemáticas # e @ entre números inteiros, como abaixo:
  • a \sharp b=a^{2}+b^{2}
  • a @ b=(a+b)^{2}
Por exemplo, 1 \sharp 4=17 e 1 @(-6)=25.
Utilizando as operações criadas por Sérgio, responda às perguntas abaixo:
(c) Quantos são os pares ordenados (a, b) de números inteiros, tais que (a @ b)-(a \sharp b)=36 ?

Passo 1

O enunciado define duas operações entre inteiros:
a \sharp b = a^{2} + b^{2}
a @ b = (a+b)^{2}
E pede: quantos são os pares ordenados de inteiros (a,b) tais que
(a @ b) - (a \sharp b) = 36\\ ?
Informações relevantes dadas: as definições acima e que a e b são inteiros. A pergunta é contar quantos pares ordenados (a,b) satisfazem a igualdade.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão do lado esquerdo usando as definições. Primeiro expandimos (a+b)^{2}. Lembrete rápido: a identidade notável é
(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2},
onde a^{2} significa a multiplicado por a, b^{2} significa b multiplicado por b, e 2ab é duas vezes o produto a\cdot b. Usando isso:
(a @ b) - (a \sharp b) = (a+b)^{2} - (a^{2}+b^{2}) = \bigl(a^{2}+2ab+b^{2}\bigr) - \bigl(a^{2}+b^{2}\bigr).

Passo 3

Cancelamos a^{2} e b^{2} que aparecem em ambos os termos:
\bigl(a^{2}+2ab+b^{2}\bigr) - \bigl(a^{2}+b^{2}\bigr) = 2ab.
Portanto a equação dada vira
2ab = 36.

Passo 4

Dividindo ambos os lados por 2 (operação válida para inteiros), obtemos
ab = 18.
Logo o problema reduziu-se a contar todos os pares ordenados de inteiros (a,b) tal que o produto a\cdot b vale 18.

Passo 5

Para achar todos os pares inteiros com produto 18 é útil fatorar 18. A fatoração prima é
18 = 2 \cdot 3^{2}.
O número de divisores positivos de 18 é (1+1)\cdot(2+1)=6. Os divisores positivos são
1,\,2,\,3,\,6,\,9,\,18.
Se a for qualquer divisor positivo d desses, então b=18/d é um inteiro positivo e (d,18/d) é uma solução. Isso dá 6 pares com ambos positivos. Como 18>0, também podemos ter ambos negativos: para cada divisor positivo d o par (-d,-18/d) também é solução, fornecendo mais 6 pares. Outra forma de ver é: a pode ser qualquer divisor inteiro de 18 (positivos e negativos), e para cada escolha de a existe um único b=18/a. Há 6 divisores positivos e 6 negativos, totalizando 12 possibilidades para a, portanto 12 pares ordenados.

Passo 6

Para fixar a ideia, listamos explicitamente os 12 pares ordenados:
(1,18),\\ (2,9),\\ (3,6),\\ (6,3),\\ (9,2),\\ (18,1),
(-1,-18),\\ (-2,-9),\\ (-3,-6),\\ (-6,-3),\\ (-9,-2),\\ (-18,-1).
Cada um tem produto 18, então cada um satisfaz ab=18 e, portanto, a equação original.

Resposta

12

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