Sérgio inventou as operações matemáticas # e @ entre números inteiros, como abaixo:
-
-
Por exemplo,
e
.
Utilizando as operações criadas por Sérgio, responda às perguntas abaixo:
(c) Quantos são os pares ordenados
de números inteiros, tais que
?
(c) Quantos são os pares ordenados
Passo 1
O enunciado define duas operações entre inteiros:
E pede: quantos são os pares ordenados de inteiros
tais que
Informações relevantes dadas: as definições acima e que
e
são inteiros. A pergunta é contar quantos pares ordenados
satisfazem a igualdade.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão do lado esquerdo usando as definições. Primeiro expandimos
. Lembrete rápido: a identidade notável é
onde
significa
multiplicado por
,
significa
multiplicado por
, e
é duas vezes o produto
. Usando isso:
Passo 3
Cancelamos
e
que aparecem em ambos os termos:
Portanto a equação dada vira
Passo 4
Dividindo ambos os lados por
(operação válida para inteiros), obtemos
Logo o problema reduziu-se a contar todos os pares ordenados de inteiros
tal que o produto
vale
.
Passo 5
Para achar todos os pares inteiros com produto
é útil fatorar
. A fatoração prima é
O número de divisores positivos de
é
. Os divisores positivos são
Se
for qualquer divisor positivo
desses, então
é um inteiro positivo e
é uma solução. Isso dá
pares com ambos positivos. Como
, também podemos ter ambos negativos: para cada divisor positivo
o par
também é solução, fornecendo mais
pares. Outra forma de ver é:
pode ser qualquer divisor inteiro de
(positivos e negativos), e para cada escolha de
existe um único
. Há
divisores positivos e
negativos, totalizando
possibilidades para
, portanto
pares ordenados.
Passo 6
Para fixar a ideia, listamos explicitamente os
pares ordenados:
Cada um tem produto
, então cada um satisfaz
e, portanto, a equação original.