Determine a equação geral do plano que passa pelo ponto A e possui vetor normal \vec{n}.
A=(2,1,3) e \vec{n}=(2,1,-2)

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano que passa pelo ponto A e tem vetor normal \vec{n}.\n
Dados fornecidos:\n
A=(2,1,3)\n
\vec{n}=(2,1,-2)\n
Objetivo: encontrar a equação do plano na forma geral ax+by+cz+d=0.

Passo 2

Ideia fundamental (sem pular etapas): um vetor normal \vec{n}=(a,b,c) é perpendicular a qualquer vetor que esteja contido no plano. Se (x,y,z) é um ponto genérico do plano e (x_0,y_0,z_0) é um ponto conhecido do plano (aqui A), então o vetor que liga A a (x,y,z) é (x-x_0,\;y-y_0,\;z-z_0). A condição de perpendicularidade é que o produto escalar entre esse vetor e \vec{n} seja zero.\n
Fórmula do produto escalar em \mathbb{R}^3: dados \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3),
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
Se \vec{u}\cdot\vec{v}=0, então \vec{u} e \vec{v} são perpendiculares.

Passo 3

Aplicando isso ao plano: seja \vec{n}=(a,b,c) e ponto A=(x_0,y_0,z_0). A condição é
\bigl(x-x_0,\;y-y_0,\;z-z_0\bigr)\cdot(a,b,c)=0.
Desenvolvendo o produto escalar obtemos a forma conhecida da equação do plano:
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.
Aqui a,b,c são as componentes do vetor normal \vec{n}; x,y,z são as coordenadas de um ponto qualquer do plano; x_0,y_0,z_0 são as coordenadas de um ponto conhecido do plano.

Passo 4

Agora usamos os dados do problema: \vec{n}=(2,1,-2) a=2,\;b=1,\;c=-2. O ponto A fornece x_0=2,\;y_0=1,\;z_0=3. Substituindo na fórmula:
2(x-2)+1(y-1)-2(z-3)=0.
Vamos desenvolver passo a passo:\n
Primeiro os produtos: 2x-4 + y-1 -2z +6 = 0.\n
Agora somamos os termos constantes: -4 -1 +6 = 1.\n
Portanto a equação fica
2x + y -2z +1 = 0.

Passo 5

Verificação rápida (sempre bom checar na prova): substituir o ponto A=(2,1,3) na equação:
2\cdot 2 + 1\cdot 1 -2\cdot 3 + 1 = 4 + 1 -6 + 1 = 0,
logo o ponto pertence ao plano. Além disso, os coeficientes (2,1,-2) são exatamente as componentes do vetor normal, como esperado.

Resposta

2x+y-2z+1=0

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