Determine a equação geral do plano que passa pelo ponto
e possui vetor normal
.
e
Passo 1
O enunciado pede a equação geral do plano que passa pelo ponto
e tem vetor normal
.\n
Dados fornecidos:\n
\n
\n
Objetivo: encontrar a equação do plano na forma geral .
Dados fornecidos:\n
Objetivo: encontrar a equação do plano na forma geral
Passo 2
Ideia fundamental (sem pular etapas): um vetor normal
é perpendicular a qualquer vetor que esteja contido no plano. Se
é um ponto genérico do plano e
é um ponto conhecido do plano (aqui
), então o vetor que liga
a
é
. A condição de perpendicularidade é que o produto escalar entre esse vetor e
seja zero.\n
Fórmula do produto escalar em : dados
e
,
Fórmula do produto escalar em
Se
, então
e
são perpendiculares.
Passo 3
Aplicando isso ao plano: seja
e ponto
. A condição é
Desenvolvendo o produto escalar obtemos a forma conhecida da equação do plano:
Aqui
são as componentes do vetor normal
;
são as coordenadas de um ponto qualquer do plano;
são as coordenadas de um ponto conhecido do plano.
Passo 4
Agora usamos os dados do problema:
dá
. O ponto
fornece
. Substituindo na fórmula:
Vamos desenvolver passo a passo:\n
Primeiro os produtos: .\n
Agora somamos os termos constantes: .\n
Portanto a equação fica
Primeiro os produtos:
Agora somamos os termos constantes:
Portanto a equação fica
Passo 5
Verificação rápida (sempre bom checar na prova): substituir o ponto
na equação:
logo o ponto pertence ao plano. Além disso, os coeficientes
são exatamente as componentes do vetor normal, como esperado.