Esboce a região no plano que consiste em pontos cujas coordenadas polares satisfazem as condições dadas.
2<r<3,5 pi / 3 \leqslant \theta \leqslant 7 pi / 3

Passo 1

O enunciado dá as condições polares
2<r<3,5,\qquad \tfrac{5\pi}{3}\le \theta \le \tfrac{7\pi}{3}
e pede que eu esboce (descreva/identifique) a região no plano formada pelos pontos que satisfazem essas condições. Informações relevantes: intervalo de r (radial) é aberto em ambas as fronteiras; intervalo de \theta tem igualdade nas extremidades (ou seja, as semirretas angulares estão incluídas). Não há nenhuma outra informação no enunciado.

Passo 2

Primeira coisa importante: lembrar o que r e \theta significam. Em coordenadas polares:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r é a distância ao origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo positivo x. Outra propriedade essencial: \theta é periódico módulo 2\pi. Vou usar isso para interpretar o intervalo angular dado, porque ele ultrapassa 2\pi.

Passo 3

Converter o intervalo de \theta para algo mais intuitivo. Note que
\tfrac{7\pi}{3} = 2\pi + \tfrac{\pi}{3}.
Então o intervalo \left[\tfrac{5\pi}{3},\tfrac{7\pi}{3}\right] corresponde, por periodicidade, à união
\left[\tfrac{5\pi}{3},2\pi\right]\cup\left[0,\tfrac{\pi}{3}\right].
Uma forma ainda mais simples é reescrever centrando em \theta=0: esse mesmo conjunto é equivalente a
\left[-\tfrac{\pi}{3},\tfrac{\pi}{3}\right].
Ou seja, o setor angular tem amplitude
\tfrac{7\pi}{3}-\tfrac{5\pi}{3}=\tfrac{2\pi}{3},
ou 120^\circ, e está centrado ao redor do eixo positivo x (ângulo médio é 0).

Passo 4

Descrever geometricamente a parte radial: 2<r<3,5 significa que a região está entre dois círculos concêntricos de centro na origem, com raios 2 e 3,5. Como as desigualdades em r são estritas, os dois arcos circulares (as fronteiras circulares) NÃO pertencem à região — são abertos.

Passo 5

Descrever geometricamente a parte angular: o setor angular é \theta\in\left[-\tfrac{\pi}{3},\tfrac{\pi}{3}\right]. As bordas angulares são as semirretas de ângulo \pm\tfrac{\pi}{3} relativamente ao eixo x. As equações dessas semirretas (em forma cartesiana) são obtidas por \tan\theta = y/x. Como \tan\big(\tfrac{\pi}{3}\big)=\sqrt{3}, as semirretas são
y=\sqrt{3}\,x\quad\text{e}\quad y=-\sqrt{3}\,x,
mas restritas à parte com x\ge 0 (porque ângulos entre -\tfrac{\pi}{3} e \tfrac{\pi}{3} têm \cos\theta>0). Como o enunciado tem \theta incluindo as extremidades, essas semirretas SÃO incluídas na região.

Passo 6

Podemos agora escrever a descrição cartesiana completa. Usando x^2+y^2=r^2, as condições em r viram
4<x^2+y^2<(3,5)^2=12,25.
A condição angular \theta\in\left[-\tfrac{\pi}{3},\tfrac{\pi}{3}\right] é equivalente, para pontos com r>0, a exigir x>0 e
-\sqrt{3}\,x \le y \le \sqrt{3}\,x.
Portanto, em coordenadas cartesianas a região é
\{(x,y)\mid 4<x^2+y^2<12,25,\; x>0,\; -\sqrt{3}\,x\le y\le \sqrt{3}\,x\}.

Passo 7

Pontos de interseção notáveis (úteis para o esboço): nas extremidades angulares e radiais temos quatro pontos:
\text{para } r=2,\\ \theta=\pm\tfrac{\pi}{3}:\quad (x,y)=(1,\pm\sqrt{3}),
\text{para } r=3,5,\\ \theta=\pm\tfrac{\pi}{3}:\quad (x,y)=\bigl(1,75,\pm\tfrac{3,5\sqrt{3}}{2}\bigr).
Esses quatro pontos marcam os cantos do setor anular.

Passo 8

Como esboçar, passo a passo: (1) desenhe dois círculos concêntricos de raios 2 e 3,5 (não pintar as bordas); (2) desenhe as duas semirretas saindo da origem com inclinações \pm\tfrac{\pi}{3} (essas sim incluídas); (3) a região pedida é a parte entre os círculos limitada por essas duas semirretas — um “anel em forma de fatia” de ângulo 120^\circ centrado no eixo positivo x. Lembre-se de indicar que os arcos circulares são abertos (pontilhados) e as semirretas são sólidas (incluídas).

Resposta

Região descrita em polares: \{(r,\theta)\mid 2<r<3,5,\\ \tfrac{5\pi}{3}\le\theta\le\tfrac{7\pi}{3}\}
Região equivalente em cartesianas: \{(x,y)\mid 4<x^2+y^2<12,25,\\ x>0,\\\ -\sqrt{3}\,x\le y\le\sqrt{3}\,x\}

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