Esboce a região no plano que consiste em pontos cujas coordenadas polares satisfazem as condições dadas.
Passo 1
O enunciado dá as condições polares
e pede que eu esboce (descreva/identifique) a região no plano formada pelos pontos que satisfazem essas condições. Informações relevantes: intervalo de
(radial) é aberto em ambas as fronteiras; intervalo de
tem igualdade nas extremidades (ou seja, as semirretas angulares estão incluídas). Não há nenhuma outra informação no enunciado.
Passo 2
Primeira coisa importante: lembrar o que
e
significam. Em coordenadas polares:
onde
é a distância ao origem e
é o ângulo medido a partir do eixo positivo
. Outra propriedade essencial:
é periódico módulo
. Vou usar isso para interpretar o intervalo angular dado, porque ele ultrapassa
.
Passo 3
Converter o intervalo de
para algo mais intuitivo. Note que
Então o intervalo
corresponde, por periodicidade, à união
Uma forma ainda mais simples é reescrever centrando em
: esse mesmo conjunto é equivalente a
Ou seja, o setor angular tem amplitude
ou
, e está centrado ao redor do eixo positivo
(ângulo médio é
).
Passo 4
Descrever geometricamente a parte radial:
significa que a região está entre dois círculos concêntricos de centro na origem, com raios
e
. Como as desigualdades em
são estritas, os dois arcos circulares (as fronteiras circulares) NÃO pertencem à região — são abertos.
Passo 5
Descrever geometricamente a parte angular: o setor angular é
. As bordas angulares são as semirretas de ângulo
relativamente ao eixo
. As equações dessas semirretas (em forma cartesiana) são obtidas por
. Como
, as semirretas são
mas restritas à parte com
(porque ângulos entre
e
têm
). Como o enunciado tem
incluindo as extremidades, essas semirretas SÃO incluídas na região.
Passo 6
Podemos agora escrever a descrição cartesiana completa. Usando
, as condições em
viram
A condição angular
é equivalente, para pontos com
, a exigir
e
Portanto, em coordenadas cartesianas a região é
Passo 7
Pontos de interseção notáveis (úteis para o esboço): nas extremidades angulares e radiais temos quatro pontos:
Esses quatro pontos marcam os cantos do setor anular.
Passo 8
Como esboçar, passo a passo: (1) desenhe dois círculos concêntricos de raios
e
(não pintar as bordas); (2) desenhe as duas semirretas saindo da origem com inclinações
(essas sim incluídas); (3) a região pedida é a parte entre os círculos limitada por essas duas semirretas — um “anel em forma de fatia” de ângulo
centrado no eixo positivo
. Lembre-se de indicar que os arcos circulares são abertos (pontilhados) e as semirretas são sólidas (incluídas).
Resposta
Região descrita em polares:
Região equivalente em cartesianas:
Região equivalente em cartesianas: