Determine uma equação geral para o plano pi quando:
(a) pi passa pelos pontos A=(0,-1,1), B=(1,0,1) e C=(-1,1,1);
(b) pi passa pelo ponto P=(1,-2,0) e é perpendicular a reta r cujas equações simétricas são dadas por
r: x-12=y=1-z

Passo 1

A questão pede a equação geral do mesmo plano π em duas situações: (a) quando ele passa por três pontos A, B e C — aí vamos precisar gerar dois vetores do plano e usar o produto vetorial para achar um vetor normal. (b) quando ele passa por um ponto P e é perpendicular a uma reta r — aí basta extrair a direção da reta e usar esse vetor como normal do plano.

Passo 2

Para (a), definimos dois vetores no plano: \ AB = B - A = (1,0,1) - (0,-1,1) = (1,1,0)AC = C - A = (-1,1,1) - (0,-1,1) = (-1,2,0). Agora o vetor normal ao plano é \ n = AB times AC = (0,0,3). Usamos a equação n cdot (r - A) = 0, ou seja:
Então a equação geral é
3,(z - 1) = 0
Isto é,
z - 1 = 0

Passo 3

Para (b), primeiro interpretamos as equações simétricas de r: \ x-12 = y = 1 - z = t implica x = 1 + 2t, y = t, z = 1 - t. Assim a direção de r é
d = (2,1,-1),
que, por o plano ser perpendicular à reta, serve de vetor normal n. Aplicamos ncdot(r-P)=0:
Escrevendo a equação e simplificando, obtemos
2(x - 1) + 1(y + 2) - 1(z - 0) = 0
que leva a
2x + y - z = 0

Resposta

(a) z - 1 = 0; (b) 2x + y - z = 0

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