Determine uma equação geral para o plano
quando:
(a)
passa pelos pontos
e
;
(b)
passa pelo ponto
e é perpendicular a reta
cujas equações simétricas são dadas por
(a)
(b)
Passo 1
A questão pede a equação geral do mesmo plano π em duas situações: (a) quando ele passa por três pontos A, B e C — aí vamos precisar gerar dois vetores do plano e usar o produto vetorial para achar um vetor normal. (b) quando ele passa por um ponto P e é perpendicular a uma reta r — aí basta extrair a direção da reta e usar esse vetor como normal do plano.
Passo 2
Para (a), definimos dois vetores no plano: \
. Agora o vetor normal ao plano é \
. Usamos a equação
, ou seja:
Então a equação geral é
Então a equação geral é
Isto é,
Passo 3
Para (b), primeiro interpretamos as equações simétricas de r: \
implica
. Assim a direção de r é
que, por o plano ser perpendicular à reta, serve de vetor normal
. Aplicamos
:
Escrevendo a equação e simplificando, obtemos
Escrevendo a equação e simplificando, obtemos
que leva a
Resposta
(a) z - 1 = 0; (b) 2x + y - z = 0