Determine a posição relativa e o ângulo:
(a) Entre a reta r e o plano
dados por:
(b) Entre os planos
(a) Entre a reta r e o plano
Passo 1
O enunciado pede para determinar a posição relativa e o ângulo (a) entre a reta
e o plano
, e (b) entre os planos
e
. Isso envolve geometria no espaço, usando vetor diretor de reta, vetor normal de plano, produto escalar e fórmulas de ângulo.
Passo 2
Da reta simétrica
extraímos o vetor diretor
. Do plano
extraímos o vetor normal
.
Passo 3
Verificamos a posição relativa entre reta e plano comparando
: se for zero, a reta é paralela; se não for, elas se cortam.
O ângulo entre reta e plano satisfaz
O ângulo
Basta calcular e inverter o seno.
Passo 4
Para os planos
e
, extraímos seus vetores normais
e
diretamente das equações.
Comparamos e
: se forem paralelos, os planos são paralelos; se ortogonais, são perpendiculares; caso contrário, são concorrentes.
O ângulo entre planos é o mesmo entre seus normais, dado por
Comparamos
O ângulo
Resposta
(a) Vetor diretor
e normal
. Como
, a reta não é paralela nem perpendicular ao plano: elas se intersectam. O ângulo entre a reta e o plano é
. (b) Normais
,
têm produto
nem são múltiplos: os planos se intersectam em reta. O ângulo entre eles é
.