Determine a posição relativa e o ângulo:
(a) Entre a reta r e o plano pi dados por:
r: x-1-2=y2=z-1 e pi: x+y+z+1=0
(b) Entre os planos
& pi1: x+y+z=0 & pi2: x-y+2 z=1

Passo 1

O enunciado pede para determinar a posição relativa e o ângulo (a) entre a reta r e o plano pi, e (b) entre os planos pi1 e pi2. Isso envolve geometria no espaço, usando vetor diretor de reta, vetor normal de plano, produto escalar e fórmulas de ângulo.

Passo 2

Da reta simétrica r:;x-1-2=y2=z-1 extraímos o vetor diretor vec v. Do plano pi:;x+y+z+1=0 extraímos o vetor normal vec n.

Passo 3

Verificamos a posição relativa entre reta e plano comparando vec vcdotvec n: se for zero, a reta é paralela; se não for, elas se cortam.
O ângulo alpha entre reta e plano satisfaz
sinalpha = |vec vcdotvec n||vec v|,|vec n|
Basta calcular e inverter o seno.

Passo 4

Para os planos pi1 e pi2, extraímos seus vetores normais vec n1 e vec n2 diretamente das equações.
Comparamos vec n1 e vec n2: se forem paralelos, os planos são paralelos; se ortogonais, são perpendiculares; caso contrário, são concorrentes.
O ângulo varphi entre planos é o mesmo entre seus normais, dado por
cosvarphi = |vec n1cdotvec n2||vec n1|,|vec n2|

Resposta

(a) Vetor diretor vec v=(-2,2,1) e normal vec n=(1,1,1). Como vec vcdotvec n=1neq0, a reta não é paralela nem perpendicular ao plano: elas se intersectam. O ângulo entre a reta e o plano é alpha=arcsinl(1/(3raiz3)r)approx11,1^circ. (b) Normais vec n1=(1,1,1), vec n2=(1,-1,2) têm produto 2neq0 nem são múltiplos: os planos se intersectam em reta. O ângulo entre eles é varphi=arccos(raiz2/3)approx35,3^circ.

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