Determine a posição relativa entre os três planos abaixo:
(a) x-y+z-1=0, x+y=1 e x-z+2=0;
(b) x-y+z-1=0, x+y=1 e 2 x+z+2=0;

Passo 1

O enunciado pede para descobrir como três planos se posicionam entre si (se se cruzam em ponto, linha ou são paralelos), usando conceitos de geometria analítica em R^3. Vamos usar os vetores normais de cada plano, montar a matriz dos coeficientes e analisar o determinante (ou postos) e a consistência do sistema.

Passo 2

Para o item (a), os planos são
P₁: x - y + z - 1 = 0 com n1 = (1, -1, 1),
P₂: x + y - 1 = 0 com n2 = (1, 1, 0),
P₃: x - z + 2 = 0 com n3 = (1, 0, -1).
Montamos a matriz dos normais e calculamos seu determinante:
1 & -1 & 1 1 & 1 & 0 1 & 0 & -1 = -3 neq 0
Como o determinante é não nulo, os três vetores n₁, n₂, n₃ são linearmente independentes, logo os três planos se encontram num único ponto.

Passo 3

Para o item (b), temos os mesmos P₁ e P₂, mas agora
P₃’: 2x + z + 2 = 0 com n3' = (2, 0, 1).
A matriz dos normais é
1 & -1 & 1 1 & 1 & 0 2 & 0 & 1
Calculando o determinante, obtemos zero. Isso indica posto dos coeficientes igual a 2.

Passo 4

Para decidir se há solução, resolvemos P₂ e P₃’ juntas: de x+y=1 vem y=1-x e de 2x+z+2=0 vem z=-2x-2. Substituindo em P₁:
x - (1 - x) + (-2x - 2) - 1 = 0 implies -4 = 0,
que é impossível. Então o sistema é incompatível (posto ampliado = 3 > 2).

Passo 5

Como cada par de planos não é paralelo (vetores normais dos pares formam determinante não nulo), cada dois planos se cruzam numa reta. Mas essas três retas de interseção são paralelas entre si (todas têm direção (-1,1,2)) e não se interceptam. Portanto não existe ponto comum aos três.

Resposta

(a) Os três planos se cortam em um único ponto. (b) O sistema é incompatível: cada par de planos intersecta numa reta, mas as três retas são paralelas e não há ponto de interseção comum aos três planos.

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