Determine a posição relativa entre os três planos abaixo:
(a) e ;
(b) e ;
Passo 1
O enunciado pede para descobrir como três planos se posicionam entre si (se se cruzam em ponto, linha ou são paralelos), usando conceitos de geometria analítica em . Vamos usar os vetores normais de cada plano, montar a matriz dos coeficientes e analisar o determinante (ou postos) e a consistência do sistema.
Passo 2
Para o item (a), os planos são
P₁: com ,
P₂: com ,
P₃: com .
Montamos a matriz dos normais e calculamos seu determinante:
Como o determinante é não nulo, os três vetores n₁, n₂, n₃ são linearmente independentes, logo os três planos se encontram num único ponto.
Passo 3
Para o item (b), temos os mesmos P₁ e P₂, mas agora
P₃’: 2x + z + 2 = 0 com n3' = (2, 0, 1).
A matriz dos normais é
1 & -1 & 1 1 & 1 & 0 2 & 0 & 1
Calculando o determinante, obtemos zero. Isso indica posto dos coeficientes igual a 2.
Passo 4
Para decidir se há solução, resolvemos P₂ e P₃’ juntas: de x+y=1 vem y=1-x e de 2x+z+2=0 vem z=-2x-2. Substituindo em P₁:
x - (1 - x) + (-2x - 2) - 1 = 0 implies -4 = 0,
que é impossível. Então o sistema é incompatível (posto ampliado = 3 > 2).
Passo 5
Como cada par de planos não é paralelo (vetores normais dos pares formam determinante não nulo), cada dois planos se cruzam numa reta. Mas essas três retas de interseção são paralelas entre si (todas têm direção (-1,1,2)) e não se interceptam. Portanto não existe ponto comum aos três.
Resposta
(a) Os três planos se cortam em um único ponto. (b) O sistema é incompatível: cada par de planos intersecta numa reta, mas as três retas são paralelas e não há ponto de interseção comum aos três planos.