Determine o ponto tildeP, simétrico de P=(-1,0,1), em relação:
(a) ao ponto M=(-2,-3,5);
(b) ao plano pi: 3 x-y+1=0.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o ponto simétrico de P = (-1,0,1) em duas situações: (i) em relação ao ponto M = (-2,-3,5) e (ii) em relação ao plano pi:,3x - y + 1 = 0. O conteúdo é reflexão pontual (usar o fato de que o ponto médio de P e seu simétrico é M) e reflexão em plano (usar a fórmula envolvendo o vetor normal).

Passo 2

Para a reflexão em relação ao ponto M, sabemos que o ponto médio de P e do simétrico tilde P é M. Logo,
tilde P = 2M - P
Substituindo as coordenadas:
tilde P = 2(-2,-3,5) - (-1,0,1) = (-4,-6,10) + (1,0,-1) = (-3,-6,9)

Passo 3

Para a reflexão em relação ao plano pi:,3x - y +1=0, usamos a fórmula
tilde P = P - 2a xP + b yP + c zP + da^2+b^2+c^2(a,b,c),
onde a=3, b=-1, c=0, d=1 e P=(-1,0,1). Calculamos o numerador:
3(-1) + (-1)cdot0 + 0cdot1 +1 = -2,
e o denominador:
3^2 + (-1)^2 + 0^2 =10
Então
tilde P = (-1,0,1) - 2l(-tfrac210r)(3,-1,0) = (-1,0,1) + tfrac25(3,-1,0) = l(tfrac15, -tfrac25,1r)

Resposta

(a) (-3,-6,9) (b) l(tfrac15, -tfrac25,1r)

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