Determine a equação geral do plano \pi, sabendo que as equações paramétricas são dadas por \pi:\left\{\begin{array}{ll}x & =2-2 t-3 s \\\ y & =1+2 t-s \\\ z & =-1-t+s\end{array} \quad t, s \in \mathbb{R}\right..
9) O ponto A=(5,-9,-4) pertence ao plano \pi de equação \pi : \left\{\begin{array}{rl}x & =1-2 t+3 s \\\ y & =2-t-5 s \\\ z & =-1+t-2 s\end{array} \quad t, s \in \mathbb{R}\right. ?
Passo 1
O enunciado dá a equação paramétrica do plano \pi:
\begin{array}{rl} x &= 2 - 2t - 3s\\[4pt] y &= 1 + 2t - s\\[4pt] z &= -1 - t + s \end{array}\qquad t,s\in\mathbb{R}.
Queremos a equação geral do plano na forma \;ax+by+cz+d=0\;. Listei as informações essenciais: um ponto do plano (o correspondente a t=0,s=0) e dois vetores diretores obtidos derivando em relação a t e s.]
Passo 2
Breve explicação didática do método: um plano pode ser dado por um ponto P_0 do plano e dois vetores diretores \vec v e \vec w que ficam no plano. Um vetor normal \vec n ao plano é perpendicular a ambos \vec v e \vec w, por isso podemos calcular \vec n como o produto vetorial \vec v\times\vec w. A equação vetorial do plano é \vec n\cdot(\vec r-\vec r_0)=0; expandindo isso obtemos a equação geral ax+by+cz+d=0, onde \vec n=(a,b,c) e \vec r_0 é o vetor posição do ponto P_0.
Passo 3
Identifico um ponto P_0 do plano e os vetores diretores:
Para t=0,s=0 obtemos o ponto
P_0=(2,1,-1).
O vetor diretor correspondente a variar t (derivada em relação a t) é
Verifico a primeira equação para garantir consistência:
-2t+3s = -2\cdot 1 + 3\cdot 2 = -2 + 6 = 4,
que coincide com o lado direito 4. Portanto o sistema é consistente e existe (t,s)=(1,2) que reproduz as coordenadas de A. Concluo que A pertence ao plano dado.
Resposta
\,x+5y+8z+1=0\,
Sim — pertence ao plano para \,t=1\, e \,s=2\,.