Determine a equação geral do plano \pi, sabendo que as equações paramétricas são dadas por \pi:\left\{\begin{array}{ll}x & =2-2 t-3 s \\\ y & =1+2 t-s \\\ z & =-1-t+s\end{array} \quad t, s \in \mathbb{R}\right..
9) O ponto A=(5,-9,-4) pertence ao plano \pi de equação \pi : \left\{\begin{array}{rl}x & =1-2 t+3 s \\\ y & =2-t-5 s \\\ z & =-1+t-2 s\end{array} \quad t, s \in \mathbb{R}\right. ?

Passo 1

O enunciado dá a equação paramétrica do plano \pi:
\begin{array}{rl} x &= 2 - 2t - 3s\\[4pt] y &= 1 + 2t - s\\[4pt] z &= -1 - t + s \end{array}\qquad t,s\in\mathbb{R}.
Queremos a equação geral do plano na forma \;ax+by+cz+d=0\;. Listei as informações essenciais: um ponto do plano (o correspondente a t=0,s=0) e dois vetores diretores obtidos derivando em relação a t e s.]

Passo 2

Breve explicação didática do método: um plano pode ser dado por um ponto P_0 do plano e dois vetores diretores \vec v e \vec w que ficam no plano. Um vetor normal \vec n ao plano é perpendicular a ambos \vec v e \vec w, por isso podemos calcular \vec n como o produto vetorial \vec v\times\vec w. A equação vetorial do plano é \vec n\cdot(\vec r-\vec r_0)=0; expandindo isso obtemos a equação geral ax+by+cz+d=0, onde \vec n=(a,b,c) e \vec r_0 é o vetor posição do ponto P_0.

Passo 3

Identifico um ponto P_0 do plano e os vetores diretores:
  • Para t=0,s=0 obtemos o ponto
P_0=(2,1,-1).
  • O vetor diretor correspondente a variar t (derivada em relação a t) é
\vec v=\left(\frac{\partial x}{\partial t},\frac{\partial y}{\partial t},\frac{\partial z}{\partial t}\right)=(-2,2,-1).
  • O vetor diretor correspondente a variar s é
\vec w=\left(\frac{\partial x}{\partial s},\frac{\partial y}{\partial s},\frac{\partial z}{\partial s}\right)=(-3,-1,1).

Passo 4

Agora calculo o produto vetorial \vec n=\vec v\times\vec w. Faço pela regra do determinante:
\vec n = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] -2 & 2 & -1\\[4pt] -3 & -1 & 1 \end{vmatrix}.
Expandindo:
\vec n = \mathbf{i}\,(2\cdot1-(-1)\cdot(-1))-\mathbf{j}\,((-2)\cdot1-(-1)\cdot(-3))+\mathbf{k}\,((-2)\cdot(-1)-2\cdot(-3)).
Calculo cada termo:
  • Para \mathbf{i}: 2\cdot1-(-1)\cdot(-1)=2-1=1.
  • Para \mathbf{j}: (-2)\cdot1-(-1)\cdot(-3)=-2-3=-5, e com o sinal negativo dá +5.
  • Para \mathbf{k}: (-2)\cdot(-1)-2\cdot(-3)=2+6=8.
Portanto
\vec n=(1,5,8).]

Passo 5

Uso a fórmula do plano com ponto P_0=(2,1,-1) e normal \vec n=(1,5,8):
\vec n\cdot(\vec r-\vec r_0)=0.
Escrevendo em coordenadas, com \vec r=(x,y,z) e \vec r_0=(2,1,-1):
1\cdot(x-2)+5\cdot(y-1)+8\cdot(z+1)=0.
Expando os termos:
x-2+5y-5+8z+8=0.
Somando as constantes -2-5+8=1, resulta
x+5y+8z+1=0.
Essa é a equação geral do plano \pi.

Passo 6

Agora a segunda pergunta: dado o ponto A=(5,-9,-4) e o plano dado por
\begin{array}{rl} x &= 1 - 2t + 3s\\[4pt] y &= 2 - t - 5s\\[4pt] z &= -1 + t - 2s \end{array}\qquad t,s\in\mathbb{R},
perguntam se A pertence ao plano. O método é direto: verificar se existem t,s reais que satisfaçam simultaneamente as três igualdades x_A, y_A, z_A.]

Passo 7

Escrevo o sistema ao substituir as coordenadas de A:
\begin{cases} 1 - 2t + 3s = 5,\\[4pt] 2 - t - 5s = -9,\\[4pt] -1 + t - 2s = -4. \end{cases}
Simplifico cada equação:
\begin{cases} -2t + 3s = 4,\\[4pt] -t - 5s = -11,\\[4pt] t - 2s = -3. \end{cases}]

Passo 8

Resolvo o sistema. Da terceira equação tenho
t = -3 + 2s.
Substituo essa expressão na segunda equação:
-(-3+2s)-5s=-11.
Isso dá
3-2s-5s=-11 \quad\Rightarrow\quad 3-7s=-11.
Logo
-7s=-14 \quad\Rightarrow\quad s=2.
Com s=2 volto em t=-3+2s:
t=-3+2\cdot 2 = -3+4 = 1.

Passo 9

Verifico a primeira equação para garantir consistência:
-2t+3s = -2\cdot 1 + 3\cdot 2 = -2 + 6 = 4,
que coincide com o lado direito 4. Portanto o sistema é consistente e existe (t,s)=(1,2) que reproduz as coordenadas de A. Concluo que A pertence ao plano dado.

Resposta

\,x+5y+8z+1=0\,
Sim — pertence ao plano para \,t=1\, e \,s=2\,.

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