Sabendo que os pontos
e
pertencem ao plano
, determine os valores de
e
.
Passo 1
O enunciado dá os pontos
e
e diz que ambos pertencem ao plano
.
O que se pede: determinar os valores de e
.
O que se pede: determinar os valores de
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): um ponto
pertence ao plano
exatamente quando, ao substituir suas coordenadas na expressão do plano, a igualdade é satisfeita (ou seja, o lado esquerdo fica igual a zero). Os coeficientes
formam o vetor normal ao plano, mas aqui o que nos interessa é só a condição de pertencimento — substituir as coordenadas e obter equações para
e
.
Passo 3
Substituímos o ponto
na equação do plano. Fazendo a substituição temos:
Agora calculamos os termos numéricos:
e
. Assim:
Isolando os termos com
e
:
Passo 4
Substituímos o ponto
na equação do plano. Fazendo a substituição:
Calculando os termos numéricos:
e
. Então:
Isolando os termos com
e
:
Multiplicando por
para ficar mais confortável:
Passo 5
Agora temos um sistema linear de duas equações nas incógnitas
Vou usar o método da eliminação (explicação rápida do método: alinhar coeficientes e somar/subtrair equações para eliminar uma variável). Aqui vou eliminar
, para que o coeficiente de
em ambas as equações seja
.
Multiplicando a primeira por
:
Passo 6
Subtraímos a segunda equação da equação que obtivemos para eliminar
:
O lado esquerdo simplifica para
e o direito para
, logo:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
Com
, voltamos a uma das equações para achar
. Usando
:
Somando
em ambos os lados:
Dividindo por
:
Passo 8
Verificação (substituir
e
na equação do plano para os dois pontos — passo importante para evitar erros):
Para :
Para
Para
:
As duas verificações dão
, então os valores estão corretos.