Sabendo que os pontos A=(1,3,5) e B=(-3,-1,1) pertencem ao plano \pi: m x+n y+3 z-2=0, determine os valores de m e n.

Passo 1

O enunciado dá os pontos A=(1,3,5) e B=(-3,-1,1) e diz que ambos pertencem ao plano \pi:\; m x + n y + 3 z - 2 = 0.
O que se pede: determinar os valores de m e n.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): um ponto (x,y,z) pertence ao plano \pi:\; m x + n y + 3 z - 2 = 0 exatamente quando, ao substituir suas coordenadas na expressão do plano, a igualdade é satisfeita (ou seja, o lado esquerdo fica igual a zero). Os coeficientes m,n,3 formam o vetor normal ao plano, mas aqui o que nos interessa é só a condição de pertencimento — substituir as coordenadas e obter equações para m e n.

Passo 3

Substituímos o ponto A=(1,3,5) na equação do plano. Fazendo a substituição temos:
m\cdot 1 + n\cdot 3 + 3\cdot 5 - 2 = 0
Agora calculamos os termos numéricos: 3\cdot 5 = 15 e 15-2=13. Assim:
m + 3n + 13 = 0
Isolando os termos com m e n:
m + 3n = -13

Passo 4

Substituímos o ponto B=(-3,-1,1) na equação do plano. Fazendo a substituição:
m\cdot(-3) + n\cdot(-1) + 3\cdot 1 - 2 = 0
Calculando os termos numéricos: 3\cdot 1 = 3 e 3-2=1. Então:
-3m - n + 1 = 0
Isolando os termos com m e n:
-3m - n = -1
Multiplicando por -1 para ficar mais confortável:
3m + n = 1

Passo 5

Agora temos um sistema linear de duas equações nas incógnitas m\) e \(n\): \[\begin{cases} m + 3n = -13\\[4pt] 3m + n = 1 \end{cases}
Vou usar o método da eliminação (explicação rápida do método: alinhar coeficientes e somar/subtrair equações para eliminar uma variável). Aqui vou eliminar m\] multiplicando a primeira equação por \(3, para que o coeficiente de m em ambas as equações seja 3.
Multiplicando a primeira por 3:
3m + 9n = -39]

Passo 6

Subtraímos a segunda equação da equação que obtivemos para eliminar m:
(3m + 9n) - (3m + n) = -39 - 1
O lado esquerdo simplifica para 8n e o direito para -40, logo:
8n = -40
Dividindo ambos os lados por 8:
n = -5

Passo 7

Com n=-5, voltamos a uma das equações para achar m. Usando \;3m + n = 1\;:
3m + (-5) = 1
Somando 5 em ambos os lados:
3m = 6
Dividindo por 3:
m = 2

Passo 8

Verificação (substituir m e n na equação do plano para os dois pontos — passo importante para evitar erros):
Para A=(1,3,5):
m\cdot 1 + n\cdot 3 + 3\cdot 5 - 2 = 2 + (-5)\cdot 3 + 15 - 2 = 2 -15 +15 -2 = 0
Para B=(-3,-1,1):
m\cdot(-3) + n\cdot(-1) + 3\cdot 1 - 2 = 2\cdot(-3) + (-5)\cdot(-1) + 3 - 2 = -6 +5 +3 -2 = 0
As duas verificações dão 0, então os valores estão corretos.

Resposta

m=2,\; n=-5

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