Determine as equações paramétricas do plano
, sabendo que a equação geral do plano é dada por
.
Passo 1
O enunciado dá a equação geral do plano
e pede: determinar as equações paramétricas de
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
Não há mais informações; a tarefa é passar dessa forma cartesiana para uma forma paramétrica (usar parâmetros para descrever todos os pontos do plano).
Passo 2
Vou explicar o que é preciso para escrever equações paramétricas de um plano (sem pular etapas). Para descrever um plano em forma paramétrica precisamos de:
- Um ponto qualquer
que pertença ao plano. Esse ponto serve como “ponto base”. - Dois vetores diretores
e que estejam no plano e sejam linearmente independentes (ou seja, não sejam múltiplos um do outro). Qualquer combinação linear
gera todos os pontos
do plano. Então nosso objetivo é encontrar
,
e
.
Passo 3
A partir da equação cartesiana podemos extrair o vetor normal ao plano — o vetor cujas componentes são os coeficientes de
. Para
o vetor normal é
O vetor normal
é ortogonal a qualquer vetor que esteja no plano; isto é, se
é vetor diretor do plano, então
.
Passo 4
Encontre um ponto
no plano. Basta escolher valores fáceis para duas variáveis e resolver para a terceira. Por exemplo, escolha
e
. Substituindo na equação do plano:
Logo
é um ponto do plano (verifiquei substituindo na equação).
Passo 5
Agora precisamos de dois vetores
tais que
. Escrevemos a condição:
ou seja
Para obter vetores simples, escolhemos valores para duas coordenadas e calculamos a terceira:
- Escolha
e . Então . Assim um vetor diretor é
Cheque rápido:
, ok.
- Escolha
e . Então . Outro vetor diretor é
Cheque:
, ok.
Os vetores
e
são independentes (não são múltiplos um do outro), portanto formam uma base de direções do plano.
Passo 6
Escrever a equação paramétrica do plano a partir do ponto
e dos vetores diretores
. A forma vetorial é
Agora escrevemos componente a componente (equações paramétricas escalares). Da expressão vetorial obtemos:
com
.
Passo 7
Verificação rápida (útil na prova): substitua
em
para garantir que qualquer
gera um ponto do plano:
portanto a parametrização está correta.