Determine as equações paramétricas do plano \pi, sabendo que a equação geral do plano é dada por \pi: x+2 y+3 z-2=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação geral do plano
\pi: x+2y+3z-2=0
e pede: determinar as equações paramétricas de \pi.
Informações relevantes fornecidas:
\text{(i)}\; x+2y+3z-2=0 \quad\text{(equação cartesiana do plano).}çã
Não há mais informações; a tarefa é passar dessa forma cartesiana para uma forma paramétrica (usar parâmetros para descrever todos os pontos do plano).

Passo 2

Vou explicar o que é preciso para escrever equações paramétricas de um plano (sem pular etapas). Para descrever um plano em forma paramétrica precisamos de:
  1. Um ponto qualquer \,P_0=(x_0,y_0,z_0)\, que pertença ao plano. Esse ponto serve como “ponto base”.
  2. Dois vetores diretores \,v_1 e \,v_2 que estejam no plano e sejam linearmente independentes (ou seja, não sejam múltiplos um do outro). Qualquer combinação linear
P = P_0 + s\,v_1 + t\,v_2,\quad s,t\in\mathbb{R},
gera todos os pontos P do plano. Então nosso objetivo é encontrar P_0, v_1 e v_2.

Passo 3

A partir da equação cartesiana podemos extrair o vetor normal ao plano — o vetor cujas componentes são os coeficientes de x,y,z. Para
x+2y+3z-2=0
o vetor normal é
n=(1,2,3).
O vetor normal n é ortogonal a qualquer vetor que esteja no plano; isto é, se v é vetor diretor do plano, então \,n\cdot v=0.

Passo 4

Encontre um ponto P_0 no plano. Basta escolher valores fáceis para duas variáveis e resolver para a terceira. Por exemplo, escolha y=0 e z=0. Substituindo na equação do plano:
x+2\cdot 0+3\cdot 0-2=0 \Longrightarrow x-2=0 \Longrightarrow x=2.
Logo P_0=(2,0,0) é um ponto do plano (verifiquei substituindo na equação).

Passo 5

Agora precisamos de dois vetores v=(a,b,c) tais que n\cdot v=0. Escrevemos a condição:
(1,2,3)\cdot(a,b,c)=1\cdot a+2\cdot b+3\cdot c=0,
ou seja
a+2b+3c=0.
Para obter vetores simples, escolhemos valores para duas coordenadas e calculamos a terceira:
  • Escolha b=1 e c=0. Então a+2\cdot 1+3\cdot 0=0\Rightarrow a=-2. Assim um vetor diretor é
v_1=(-2,1,0).
Cheque rápido: n\cdot v_1=1\cdot(-2)+2\cdot 1+3\cdot 0=0, ok.
  • Escolha b=0 e c=1. Então a+2\cdot 0+3\cdot 1=0\Rightarrow a=-3. Outro vetor diretor é
v_2=(-3,0,1).
Cheque: n\cdot v_2=1\cdot(-3)+2\cdot 0+3\cdot 1=0, ok.
Os vetores v_1 e v_2 são independentes (não são múltiplos um do outro), portanto formam uma base de direções do plano.

Passo 6

Escrever a equação paramétrica do plano a partir do ponto P_0 e dos vetores diretores v_1,v_2. A forma vetorial é
\mathbf{r}(s,t)= (2,0,0) + s(-2,1,0) + t(-3,0,1),\quad s,t\in\mathbb{R}.
Agora escrevemos componente a componente (equações paramétricas escalares). Da expressão vetorial obtemos:
x=2-2s-3t,
y=s,
z=t,
com s,t\in\mathbb{R}.

Passo 7

Verificação rápida (útil na prova): substitua x,y,z em x+2y+3z-2 para garantir que qualquer s,t gera um ponto do plano:
x+2y+3z-2=(2-2s-3t)+2(s)+3(t)-2=0,
portanto a parametrização está correta.

Resposta

\displaystyle \mathbf{r}(s,t)=(2,0,0)+s(-2,1,0)+t(-3,0,1),\; s,t\in\mathbb{R}.
\displaystyle x=2-2s-3t,\; y=s,\; z=t,\; s,t\in\mathbb{R}.

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