O ponto A=(5,-9,-4) pertence ao plano \pi de equação \pi : \left\{\begin{array}{rl}x & =1-2 t+3 s \\\ y & =2-t-5 s \\\ z & =-1+t-2 s\end{array} \quad t, s \in \mathbb{R}\right. ?
Passo 1
O enunciado dá o ponto A=(5,-9,-4) e o plano \pi em forma paramétrica:
\begin{array}{rl} x & =1-2 t+3 s\\[4pt] y & =2-t-5 s\\[4pt] z & =-1+t-2 s \end{array}\quad t,s\in\mathbb{R}.
A pergunta é: o ponto A pertence ao plano \pi? Ou seja, existe algum par (t,s) em \mathbb{R}^2 tal que as coordenadas de A satisfaçam simultaneamente as três equações paramétricas do plano?]
Passo 2
Estratégia para resolver (explicação didática): um ponto está no plano dado por parametrização se, e somente se, ao substituir as coordenadas do ponto nas expressões paramétricas, o sistema de três equações em duas incógnitas t e s for compatível (tiver solução). Vou montar esse sistema e resolver por substituição/eliminação. Substituição é boa aqui porque uma das equações isola facilmente uma incógnita, o que torna o cálculo rápido — e em prova isso vale ouro.
Passo 3
Substituindo as coordenadas de A em cada expressão paramétrica obtemos o sistema
Vou simplificar cada equação isolando os termos com t\) e \(s\). Isso deixa as equações em forma linear padrão:
\[\begin{cases} -2t+3s=4,\\[4pt] -t-5s=-11,\\[4pt] t-2s=-3. \end{cases}
Explicação: para passar de 1-2t+3s=5\] para \(-2t+3s=4 subtraímos 1 dos dois lados; procedimento análogo foi feito nas outras equações. É importante fazer essas manipulações passo a passo para não perder sinais.]
Passo 5
Observe a terceira equação \,t-2s=-3\,. Ela já está isolando t em função de s. Vou resolver por substituição: isolo t:
t = -3 + 2s.
Explicação didática: isolar uma variável significa escrever essa variável sozinha num dos lados da igualdade; isso facilita substituir em outras equações e reduzir o número de incógnitas.
Passo 6
Substituo a expressão de t na segunda equação -t-5s=-11:
-(-3+2s)-5s=-11.
Agora desenvolvo os parênteses e somo os termos semelhantes:
3-2s-5s=-11,
3-7s=-11.
Subtraio 3 dos dois lados:
-7s=-14.
Divido por -7:
s=2.
Explicação didática: ao desenvolver -(-3+2s) obtemos 3-2s. Em seguida juntamos -2s com -5s para obter -7s. Resolver uma equação linear em uma incógnita segue essas etapas: expandir, reunir termos semelhantes, isolar a incógnita.
Passo 7
Com s=2 volto à expressão que tinha para t:
t=-3+2s=-3+2\cdot 2=-3+4=1.
Portanto encontrei (t,s)=(1,2). Explicação: é sempre bom calcular explicitamente os valores das duas incógnitas para depois verificar todas as equações.
Passo 8
Verificação final: substituo (t,s)=(1,2) nas três equações originais para confirmar que todas são satisfeitas.
Primeira equação:
1-2t+3s=1-2\cdot1+3\cdot2=1-2+6=5,
que coincide com a coordenada x=5 do ponto A.
Segunda equação:
2-t-5s=2-1-5\cdot2=2-1-10=-9,
que coincide com y=-9.
Terceira equação:
-1+t-2s=-1+1-2\cdot2=-1+1-4=-4,
que coincide com z=-4.
Como todas as três checagens deram certo, o sistema é compatível e a solução encontrada é válida.
Passo 9
Conclusão: existe um par (t,s) que faz as três igualdades simultaneamente, logo o ponto A pertence ao plano \pi. Dica de prova: em problemas parecidos, procurar uma equação que isole uma incógnita facilita bastante; sempre verifique substituindo os valores obtidos nas equações restantes para evitar erros de sinal.