Determine uma equação geral do plano nos seguintes casos:
Ele passa pelo ponto P(0,2,3) e contém a reta r:lx=2-t y=5 z=-1+4 t

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano que passa por
Conteúdo: para achar a equação (Ax+By+Cz+D=0] precisamos do vetor normal ao plano. Com um ponto do plano e dois vetores diretores nele (um deles da reta) obtemos o normal pelo produto vetorial.

Passo 2

Escolhemos um ponto Q sobre a reta (por exemplo, em t=0) e obtemos o vetor diretor da reta:
Q = (2,5,-1), vec d = l(-1,0,4r)
pois x=2-t,;y=5,;z=-1+4t vec d=(tfracd xd t,tfracd yd t,tfracd zd t)=(-1,0,4).

Passo 3

Formamos outro vetor no plano ligando P a Q:
PQ = Q - P = (2-0,,5-2,,-1-3) = (2,,3,,-4)

Passo 4

O vetor normal vec n é o produto vetorial vec dtimesPQ:
vec n = i & j & k -1 & 0 & 4 2 & 3 & -4 = l(-12,,4,,-3r)
Para simplificar, podemos multiplicar por -1 e usar
vec n = (12,,-4,,3)

Passo 5

Com vec n=(A,B,C)=(12,-4,3), a equação do plano é
12x - 4y + 3z + D = 0
Substituindo o ponto P(0,2,3):
12cdot0 -4cdot2 +3cdot3 + D = 0 Longrightarrow -8 +9 + D = 0 Longrightarrow D = -1

Resposta

A equação geral do plano é
boxed12x - 4y + 3z - 1 = 0

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