Determine a equação geral do plano tangente ao gráfico da função f(x, y)=raiz1-x^2-y^2 no ponto (1raiz3, 1raiz3, 1raiz3). Podemos afirmar que essa função é diferenciável em (1raiz3, 1raiz3) ? Justifique.

Passo 1

Neste exercício vamos encontrar a equação do plano tangente ao gráfico da função z=f(x,y)=raiz1-x^2-y^2 no ponto (tfrac1raiz3,tfrac1raiz3,tfrac1raiz3) e verificar se f é diferenciável nesse ponto. Para isso precisamos usar a definição de plano tangente via derivadas parciais e a condição de diferenciabilidade pelo teste de continuidade dessas derivadas.

Passo 2

Cálculo das derivadas parciais de f:
fx(x,y)=partialpartial xraiz1-x^2-y^2=12raiz1-x^2-y^2(-2x)=-xraiz1-x^2-y^2,
fy(x,y)=-yraiz1-x^2-y^2

Passo 3

Avaliação das derivadas no ponto (tfrac1raiz3,tfrac1raiz3): como 1-tfrac13-tfrac13=tfrac13 temos raiz1-x^2-y^2=1/raiz3. Logo
fx=-1/raiz31/raiz3=-1, fy=-1
Assim a equação do plano tangente fica
z-1raiz3=-1l(x-1raiz3r)-1l(y-1raiz3r),
que simplifica para
z=-x-y+raiz3

Passo 4

Para a diferenciabilidade: f é composição de funções elementares (raiz e polinômio) cujas derivadas parciais existem e são contínuas no interior do disco x^2+y^2<1. Como (1/raiz3,1/raiz3) está nesse interior, f é diferenciável no ponto.

Resposta

A equação geral do plano tangente é z=-x-y+raiz3. Sim, a função é diferenciável em (tfrac1raiz3,tfrac1raiz3), pois suas derivadas parciais existem e são contínuas num entorno desse ponto.

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