Determine a equação geral do plano tangente ao gráfico da função
no ponto
. Podemos afirmar que essa função é diferenciável em
? Justifique.
Passo 1
Neste exercício vamos encontrar a equação do plano tangente ao gráfico da função
no ponto
e verificar se
é diferenciável nesse ponto. Para isso precisamos usar a definição de plano tangente via derivadas parciais e a condição de diferenciabilidade pelo teste de continuidade dessas derivadas.
Passo 2
Cálculo das derivadas parciais de
:
Passo 3
Avaliação das derivadas no ponto
: como
temos
. Logo
Assim a equação do plano tangente fica
que simplifica para
Passo 4
Para a diferenciabilidade:
é composição de funções elementares (raiz e polinômio) cujas derivadas parciais existem e são contínuas no interior do disco
. Como
está nesse interior,
é diferenciável no ponto.
Resposta
A equação geral do plano tangente é
. Sim, a função é diferenciável em
, pois suas derivadas parciais existem e são contínuas num entorno desse ponto.