Esboce a curva usando as equações paramétricas para plotar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando t aumenta. Em seguida, elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva
r(t)=(raiz2 cos (t), raiz2 sin (t), t)

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a curva dada por r(t)=(raiz2cos t,,raiz2sin t,,t), indicando a direção do traçado quando t cresce, e depois eliminar o parâmetro t para obter uma equação cartesiana.

Passo 2

Primeiro, note que a projeção da curva no plano xy é um círculo de raio raiz2. De fato temos
x=raiz2cos t, y=raiz2sin t,
e isso implica
x^2+y^2=2(cos^2t+sin^2t)=2

Passo 3

Para esboçar em 3D, escolha alguns valores de t e plote:
  • t=0 em (raiz2,0,0)
  • t=tfracpi2 em (0,raiz2,tfracpi2)
  • t=pi em (-raiz2,0,pi)
  • t=tfrac3pi2 em (0,-raiz2,tfrac3pi2)
  • t=2pi em (raiz2,0,2pi)
    Conecte esses pontos formando uma hélice que sobe conforme t aumenta. Coloque setas no sentido em que os pontos ocorrem (de baixo para cima seguindo o círculo).

Passo 4

Agora, para eliminar t, use também que z=t. Assim o parâmetro aparece apenas no z e a única relação entre x e y é
x^2+y^2=2
Logo a curva é a hélice que vive no cilindro
x^2+y^2=2
e sobe conforme z aumenta.

Resposta

Equação cartesiana: x^2+y^2=2

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